2007-江西卷理-18 解-线段中点坐标公式

本题导读

本题考查三角函数的解析式确定与中点轨迹的应用。第一问利用 $y$ 轴交点确定初相 $\theta$，再通过导数的几何意义（切线斜率）求出角速度 $\omega$；第二问利用中点坐标公式将点 $Q$ 的坐标转化为点 $P$ 的坐标，代入函数解析式求解对应的自变量。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 如图，函数 $y=2\cos (\omega x+\theta )$ $\left(x\in \mathbf{R},0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\right)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,\sqrt{3})$，且在该点处切线的斜率为 $-2$.

(1) 求 $\theta$ 和 $\omega$ 的值；

(2) 已知点 $A\left(\frac{\pi }{2},0\right)$，点 $P$ 是该函数图象上的一点，点 $Q(x_0,y_0)$ 是 $PA$ 的中点，当 $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x_0\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 时，求 $x_0$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定初相 $\theta$：将 $y$ 轴交点 $(0,\sqrt{3})$ 代入函数方程，得到 $2\cos \theta =\sqrt{3}$，结合 $\theta$ 的范围求出其值。

2. 确定 $\omega$：对函数求导，根据在 $x=0$ 处切线斜率为 $-2$，令 $y^{\prime }{|}_{x=0}=-2$ 建立关于 $\omega$ 的方程求解。

3. 中点反设法：设 $P(x_1,y_1)$。已知 $A\left(\frac{\pi }{2},0\right)$ 且 $Q(x_0,y_0)$ 是 $PA$ 的中点，利用中点公式表示出 $x_1=2x_0-\frac{\pi }{2}$， $y_1=2y_0$。代入函数解析式，结合 $x_0$ 的范围确定整体角的范围，完成求解。

✅【答案】

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（1）由图象经过(0,√3)，得2cos𝜃=√3.因为0⩽𝜃⩽π2，所以𝜃=π

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）因为函数图象与 $y$ 轴交于点 $(0,\sqrt{3})$，将 $x=0,y=\sqrt{3}$ 代入函数解析式中： $\sqrt{3}=2\cos (0+\theta )⟹\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 已知 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$，解得： $\theta =\frac{\pi }{6}$

对函数 $y=2\cos \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 进行求导运算： $y^{\prime }=-2\omega \sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 已知在点 $(0,\sqrt{3})$ 处切线的斜率为 $-2$，由导数的几何意义可知： $y^{\prime }{|}_{x=0}=-2⟹-2\omega \sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=-2$ 将 $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 代入上式中： $-2\omega \times \frac{1}{2}=-2⟹-\omega =-2⟹\omega =2$ 所以， $\theta =\frac{\pi }{6}$， $\omega =2$。

（2）由（1）可知，该函数的解析式为： $y=2\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 设点 $P$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$。 已知 $A\left(\frac{\pi }{2},0\right)$，且 $Q(x_0,y_0)$ 是线段 $PA$ 的中点，根据线段中点坐标公式有： $x_0=\frac{x_1+\frac{\pi }{2}}{2}⟹x_1=2x_0-\frac{\pi }{2}$ $y_0=\frac{y_1+0}{2}⟹y_1=2y_0$ 已知 $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得： $y_1=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

因为点 $P(x_1,y_1)$ 在函数的图象上，将 $x_1=2x_0-\frac{\pi }{2},y_1=\sqrt{3}$ 代入函数解析式中： $\sqrt{3}=2\cos \left[2\left(2x0-\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\pi }{6}\right]⟹\cos \left(4x_0-\pi +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 利用诱导公式 $\cos (\alpha -\pi )=-\cos \alpha$ 化简： $-\cos \left(4x_0+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹\cos \left(4x_0+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

已知 $x_0\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，我们求出整体角 $t=4x_0+\frac{\pi }{6}$ 的取值范围： $\frac{\pi }{2}\le x_0\le \pi ⟹2\pi \le 4x_0\le 4\pi ⟹2\pi +\frac{\pi }{6}\le 4x_0+\frac{\pi }{6}\le 4\pi +\frac{\pi }{6}$ $\frac{13\pi }{6}\le 4x_0+\frac{\pi }{6}\le \frac{25\pi }{6}$ 在此区间内，满足余弦值等于 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的终边位置对应的整体角有： $4x_0+\frac{\pi }{6}=2\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}\text{或}4x_0+\frac{\pi }{6}=2\pi +\frac{7\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}$

• 当 $4x_0+\frac{\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}$ 时： $4x_0=\frac{16\pi }{6}=\frac{8\pi }{3}⟹x_0=\frac{2\pi }{3}$
• 当 $4x_0+\frac{\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}$ 时： $4x_0=\frac{18\pi }{6}=3\pi ⟹x_0=\frac{3\pi }{4}$

经检验， $x_0=\frac{2\pi }{3}$ 和 $x_0=\frac{3\pi }{4}$ 均落在区间 $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 内。 所以， $x_0$ 的值为 $\frac{2\pi }{3}$ 或 $\frac{3\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合三角函数的复合求导、中点坐标反求轨迹元、特定大范围区间内三角方程多解的选择。
2. 避坑指南：

• 第二问中由 $x_0$ 放缩整体角范围时，一定要严密算出 $\left[\frac{13\pi }{6},\frac{25\pi }{6}\right]$ 这一大跨度边界。由于该区间跨越了完整的一个周期，余弦等于负值的点会有两个。如果只算出一个解，会导致解答题直接扣掉 3 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查三角函数的图象与性质、导数的几何意义（切线斜率），是江西卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（导数运算与方程代入法、坐标代换法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：三角函数的图象与性质、导数的几何意义（切线斜率）相互关联，解答中综合运用了导数运算与方程代入法、坐标代换法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷理-17 解-三角函数
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2008-广东卷理-18 解-几何证明