2008-广东卷理-18 解-几何证明

本题导读

本题考查解析几何中椭圆与抛物线的综合应用。第一问通过抛物线切线过椭圆焦点的几何条件建立方程求出参数；第二问探究满足直角三角形条件的点，需分直角顶点在不同位置进行分类讨论，并结合曲线交点判定解的个数。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 设 $b>0$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，抛物线方程为 $x^2=8(y-b)$.如图所示，过点 $F(0,b+2)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$.已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_1$.

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

(2)设 $A,B$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\Delta ABP$ 为直角三角形？若存在，请指出共 有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由 $y_G=b+2$ 代入抛物线求出 $G$ 点坐标，利用导数求出切线斜率，写出切线方程。求出椭圆右焦点 $F_1(b,0)$ 并代入切线方程，解出 $b$。
2. 第二问：分情况讨论直角顶点的位置：

• 直角顶点为 $A$ 或 $B$ 时，$P$ 点在过 $A$ 或 $B$ 且垂直于 $AB$ 的竖直直线上，看其与抛物线有几个交点；
• 直角顶点为 $P$ 时，$P$ 点在以 $AB$ 为直径的圆上，联立圆与抛物线方程判定交点个数。

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满足条件的点 $P$ 共有 $1+1+2=4$ 个

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由题意，过点 $F(0,b+2)$ 且与 $x$ 轴平行的直线方程为 $y=b+2$。 代入抛物线方程 $x^2=8(y-b)$ 得： $x^2=8(b+2-b)=16$ 因为 $G$ 在第一象限，所以 $G$ 点坐标为 $(4,b+2)$。

将抛物线方程化为 $y=\frac{1}{8}{x}^2+b$，对其求导得 $y^{\prime }=\frac{1}{4}x$。 所以抛物线在点 $G$ 处的切线斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=4}=1$。 则切线方程为 $y-(b+2)=1\cdot (x-4)$，即： $y=x+b-2$

对于椭圆 $\frac{x^2}{2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，易知 $a^2=2b^2,b_{\text{短}}^2=b^2$。 则 $c^2=a^2-b_{\text{短}}^2=2b^2-b^2=b^2$。 因为 $b>0$，所以右焦点为 $F_1(b,0)$。 将 $F_1(b,0)$ 代入切线方程得 $0=b+b-2⟹b=1$。

故所求方程分别为：

• 椭圆方程：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$
• 抛物线方程：$x^2=8(y-1)$

(2)解： 存在满足条件的点 $P$，共有 4 个。理由如下：

由(1)可知，椭圆长轴端点为 $A(-\sqrt{2},0)$，$B(\sqrt{2},0)$。 若 $\Delta ABP$ 为直角三角形，需分三种情况讨论：

• 情况①：当 $\angle PAB=90^{\circ }$ 时 点 $P$ 必在过点 $A$ 且垂直于 $x$ 轴的直线 $x=-\sqrt{2}$ 上。 代入抛物线方程 $x^2=8(y-1)$ 得 $(-\sqrt{2}{)}^2=8(y-1)⟹y=\frac{5}{4}$。 此时存在 $1$ 个点 $P_1\left(-\sqrt{2},\frac{5}{4}\right)$。

• 情况②：当 $\angle PBA=90^{\circ }$ 时 同理，点 $P$ 必在直线 $x=\sqrt{2}$ 上，代入抛物线方程得 $y=\frac{5}{4}$。 此时存在 $1$ 个点 $P_2\left(\sqrt{2},\frac{5}{4}\right)$。

• 情况③：当 $\angle APB=90^{\circ }$ 时 根据圆的几何性质，点 $P$ 必在以 $AB$ 为直径的圆上（除去 $A,B$ 两点）。 该圆的圆心为原点 $O(0,0)$，半径为 $\sqrt{2}$，其方程为： $x^2+y^2=2$ 联立圆与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=2\\ x^2=8(y-1)\end{array}⟹8(y-1)+y^2=2⟹y^2+8y-10=0$ 解得 $y=\frac{-8\pm \sqrt{64-4\times 1\times (-10)}}{2}=-4\pm \sqrt{26}$。 因为 $5<\sqrt{26}<6$， 所以 $y_1=-4+\sqrt{26}\in (1,2)$，而 $y_2=-4-\sqrt{26}<0$（不符抛物线 $y\ge 1$ 限制，舍去）。 当 $y=-4+\sqrt{26}$ 时，由 $y<\sqrt{2}$ 可知 $y^2<2$，此时 $x^2=2-y^2>0$，可对应解得 $2$ 个不同的实数 $x$ 值（且均不为 $\pm \sqrt{2}$）。 因此，圆与抛物线在 $y>1$ 的区域内有 $2$ 个不同的交点。

综上所述，满足条件的点 $P$ 共有 $1+1+2=4$ 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线的几何要素（长轴端点、焦点）；抛物线的导数切线公式；直角三角形分类判定模型。
2. 核心方法：分类讨论思想。探究直角三角形时，若未明确直角顶点，必须对三个顶点分别作为直角顶点的可能进行穷举分析。
3. 避坑指南：在第(2)问讨论 $\angle APB=90^{\circ }$ 时，求出 $y$ 的方程后，极易忽略圆的定义域边界 $|y|\le \sqrt{2}$ 和抛物线的范围边界 $y\ge 1$，必须严密验证交点坐标的实数存在性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于传统解析几何大题中“直线与曲线相交”以及“特殊三角形存在性”的常考结构进行设计，融入了新课标大纲要求的导数切线工具。
2. 结论推广: 对于给定线段 $AB$ 和一条抛物线 $y=m{x}^2+n$，使得 $\Delta ABP$ 为直角三角形的点 $P$ 的个数，完全取决于抛物线顶点的位置、开口大小以及直径圆与抛物线的多重交点相切临界状态。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形
• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹