2007-浙江卷文-08 单-赛制概率

本题导读

本题考查相互独立事件，以及互斥事件与分类加法。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为”$3$ 局 $2$ 胜”，即以先赢 $2$ 局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为 $0.6$，则本次比赛甲获胜的概率是 ()

A. $0.216$　　　　　B. $0.36$　　　　　C. $0.432$　　　　　D. $0.648$

🔍【思路分析】

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1. 甲获胜分两类：$2:0$（两连胜）或 $2:1$（前两局 $1:1$ 后胜第三局）。
2. $2:0$：$0.6\times 0.6=0.36$。
3. $2:1$：前两局一胜一负 ${\mathrm{C}}_2^1\times 0.6\times 0.4$，再乘第三局胜 $0.6$。
4. 相加。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

甲获胜包括两类互斥情形： （i）$2:0$ 获胜：$P_1=0.6\times 0.6=0.36$； （ii）$2:1$ 获胜：前两局中甲恰胜一局，且第三局甲获胜：$P_2={\mathrm{C}}_2^1\times 0.6\times 0.4\times 0.6=0.288$． 由互斥事件概率加法公式，本次比赛甲获胜的概率为 $P=P_1+P_2=0.36+0.288=\mathrm{0.648.}$ 故选 D． （易错点：$2:1$ 时第三局必打且甲必须赢；若按”$3$ 局里赢 $2$ 局”算成 ${\mathrm{C}}_3^2\times 0.6^2\times 0.4=0.432$ 会误选 C——那是打满三局的口径，与”先赢两局即停”不同。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：赛制概率

核心方法：赛制概率按”决出胜负的局数”分类：2:0 与 2:1，最后一局必是胜方赢

避坑指南：“3 局 2 胜”打满三局的口径是 ${\mathrm{C}}_3^2{p}^2(1-p)+p^3$，与 ${\mathrm{C}}_2^{1}p(1-p)p+p^2$ 不同；题意是先胜两局即停

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：比赛类概率是独立事件与互斥事件结合的典型情境

结论推广：$n$ 局 $k$ 胜制：胜方最后一局必胜，前面 $n-1$ 局中胜 $k-1$ 局，$P={\mathrm{C}}_{n-1}^{k-1}{p}^k(1-p{)}^{n-1-(k-1)}$ 对 $k=2,n=3$ 即本题

方法推广：推广到五局三胜、抢七等赛制，按”决胜局”思想分类求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷I文-18 解-独立重复试验与对立事件
• 2007-大纲卷II文-19 解-独立重复试验与古典概型
• 2007-天津卷文-18 解-独立与互斥事件
• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布