2007-天津卷文-18 解-独立与互斥事件

本题导读

本题考查互斥事件。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 已知甲盒内有大小相同的 $3$ 个红球和 $4$ 个黑球，乙盒内有大小相同的 $5$ 个红球和 $4$ 个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取 $2$ 个球． （1）求取出的 $4$ 个球均为红球的概率； （2）求取出的 $4$ 个球中恰有 $1$ 个红球的概率．

🔍【思路分析】

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1. 总取法：${\mathrm{C}}_7^2{\mathrm{C}}_9^2$（两盒独立相乘）。
2. （1）全红：${\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_5^2$。
3. （2）恰 1 红分两类：甲 1 红乙 0 红，或甲 0 红乙 1 红；两类互斥相加。

✅【答案】

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（1）$P_1=\frac{5}{126}$；（2）$P_2=\frac{16}{63}$

✍【详细解析】

Abstract

从甲盒取 $2$ 球有 ${\mathrm{C}}_7^2$ 种，从乙盒取 $2$ 球有 ${\mathrm{C}}_9^2$ 种，总取法 ${\mathrm{C}}_7^2{\mathrm{C}}_9^2=21\times 36=756$ 种． （1） 取出的 $4$ 个球均为红球：甲盒取 $2$ 红 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种，乙盒取 $2$ 红 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种，故 $P_1=\frac{{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_5^2}{{\mathrm{C}}_7^2{\mathrm{C}}_9^2}=\frac{3\times 10}{756}=\frac{30}{756}=\frac{5}{126}.$ （2） 恰有 $1$ 个红球分两类（互斥）：

• 甲盒取 $1$ 红 $1$ 黑且乙盒取 $2$ 黑：${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_4^2=3\times 4\times 6=72$ 种；
• 甲盒取 $2$ 黑且乙盒取 $1$ 红 $1$ 黑：${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_5^1{\mathrm{C}}_4^1=6\times 5\times 4=120$ 种． 故 $P_2=\frac{72+120}{756}=\frac{192}{756}=\frac{16}{63}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立与互斥事件

核心方法：分盒计数作比，互斥分类相加

避坑指南：“恰 1 红”分”甲1红乙0红”与”甲0红乙1红”两类，C₄²(C₄₂) 等组合数别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相互独立与互斥事件

结论推广：P(AB)=P(A)P(B) 仅当独立；互斥则 P(A∪B)=P(A)+P(B)

方法推广：取球模型先写总取法再数有利场合

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

• 2008-天津卷文-18 解-独立事件投球概率
• 2008-江西卷文-18 解-独立事件与互斥分类