2007-浙江卷理-11 填-共轭复数分母实数化

本题导读

本题主要考查复数的代数除法运算，核心考查通过分母实数化处理复数的商，旨在测试基础运算的准确性。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 已知复数 $z_1=1-\mathrm{i},z_1\cdot z_2=1+\mathrm{i}$，则复数 $z_2=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由已知条件变形得到 $z_2=\frac{1+\mathrm{i}}{z_1}=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$；
2. 分子、分母同乘以分母的共轭复数 $1+\mathrm{i}$ 进行分母实数化运算，化简得出结果。

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$\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $z_1=1-\mathrm{i}$ 且 $z_1\cdot z_2=1+\mathrm{i}$， 所以： $z_2=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 分子与分母同乘以 $1+\mathrm{i}$ 得： $z_2=\frac{(1+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{1-{\mathrm{i}}^2}$ 因为 ${\mathrm{i}}^2=-1$，代入化简得： $z_2=\frac{1+2\mathrm{i}-1}{1-(-1)}=\frac{2\mathrm{i}}{2}=\mathrm{i}$ 故答案为 $\mathrm{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则运算，特殊复数商的性质（$\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$， $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$）。
2. 核心方法：分母实数化法。
3. 避坑指南：熟记常用结论可极大提升小题计算速度。计算中需牢记 ${\mathrm{i}}^2=-1$，防止变号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于复数基础运算的送分小题，源自教材中对复数除法定义的直接考查。
2. 结论推广：形式如 $\frac{a+b\mathrm{i}}{b+a\mathrm{i}}$（$a,b\in \mathbf{R}$且不全为0）的复数，其模长恒为 1。特别地，当 $a=1,b=1$ 或 $a=1,b=-1$ 时，其商退化为基础虚数单位 $\pm \mathrm{i}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-01 单-复数的除法运算
• 2020-新高考I卷-02 单-复数运算