2020-新高考I卷-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的除法运算。核心在于分母实数化 (共轭复数法)、提取因子法 (快捷技巧)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）2. $\frac{2-i}{1+2i}=$（ ）

A. $1$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $i$　　　　　　　D. $-i$

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：常规计算（共轭复数法） 分子分母同时乘以分母 $1+2i$ 的共轭复数 $1-2i$，通过分配律展开并化简。

方法二：观察快捷法（因子提取） 观察分子 $2-i$ 与分母 $1+2i$ 的系数关系。注意到 $2-i$ 可以改写为 $-i(1+2i)$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 解法一（常规）： $\frac{2-i}{1+2i}=\frac{(2-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

1. 分母： $(1+2i)(1-2i)=1^2+2^2=5$。
2. 分子： $(2-i)(1-2i)=2-4i-i+2i^2=2-5i-2=-5i$。
3. 化简： $\frac{-5i}{5}=-i$。

解法二（快速求解）： 因为 $2-i=2i^2-i$（利用 $i^2=-1$ 替换是不对的，应该是利用 $-1=i^2$）。 观察：$-i\times (1+2i)=-i-2i^2=-i+2=2-i$。 所以：$\frac{2-i}{1+2i}=\frac{-i(1+2i)}{1+2i}=-i$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 复数除法的本质： 分母实数化。类似于根式除法中的分母有理化。
• 单位 $i$ 的魔力： 在复数运算中，经常利用 $1=-i^2$ 或 $-1=i^2$ 来进行因式分解。
• 易错点： 在分子展开时，$2i^2$ 的变号容易遗漏，导致结果变成 $\frac{4-5i}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 共轭复数： 注意题目问的是运算结果，还是结果的共轭复数。
2. 复数的模： 题目可能要求 $|z|$。
3. 象限判定： 结果 $-i$ 在复平面内对应点 $(0,-1)$，位于 y 轴负半轴（不属于任何象限，若选项有象限需注意）。

解题要点： 看到分母系数是 $(1,2)$，分子是 $(2,-1)$，这种“交叉系数”往往预示着结果是 $\pm i$。手动试一下 $i(1+2i)=i-2=-2+i$，再试一下 $-i(1+2i)=-i+2=2-i$，瞬间锁定答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
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