2007-湖北卷文-03 单-复数运算

本题导读

本题考查二项式定理，以及常数项。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 如果 ${\left(3x^2-\frac{2}{x^3}\right)}^n$ 的展开式中含有非零常数项，则正整数 $n$ 的最小值为 ()

A. $10$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}=C_n^k(3x^2{)}^{n-k}{\left(-\frac{2}{x^3}\right)}^k\propto x^{2(n-k)-3k}$。
2. 常数项：$2n-5k=0$，即 $2n=5k$。
3. $n=\frac{5k}{2}$，$k$ 为偶数时 $n$ 为正整数；$k=2$ 给最小 $n=5$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}=C_n^k(3x^2{)}^{n-k}{\left(-\frac{2}{x^3}\right)}^k=C_n^k{3}^{n-k}(-2{)}^k{x}^{2n-5k}$． 含非零常数项当且仅当存在 $k\in \{0,1,\cdots ,n\}$ 使 $2n-5k=0$，即 $2n=5k$． 故 $5\mid 2n$，即 $5\mid n$（$2,5$ 互质），最小正整数 $n=5$（此时 $k=2$，$T_3=C_5^2{3}^3\cdot 4=1080\ne 0$）． 选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数运算

核心方法：$\frac{1+i}{1-i}=i$ 或乘共轭分母实数化

避坑指南：$\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{2}=i$；$i^2=-1$ 别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法，新课标卷新增复数考查

结论推广：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$

方法推广：复数除法一律乘分母共轭

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练(Links)

• 2010-四川卷文-13 填-二项式常数项
• 2008-江西卷文-08 单-二项式定理常数项
• 2007-安徽卷文-12 填-二项式奇偶系数和
• 2008-北京卷文-12 填-二项式常数项与系数和