2012-湖南卷文-19 解-四棱锥体积与线面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 是等腰梯形，$AD\parallel BC$，$AC\perp BD$.

(1)证明：$BD\perp PC$；

(2)若 $AD=4$，$BC=2$，直线 $PD$ 与平面 $PAC$ 所成的角为 $30^{\circ }$，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

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🔍【思路分析】

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$BD\perp PA$、$BD\perp AC$ 得 $BD\perp$ 平面 $PAC$；等腰梯形对角线互相垂直给出高 $h=3$，由 $\angle DPO=30^{\circ }$ 解得 $PA=4$，体积为 $12$。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)四棱锥 $P-ABCD$ 的体积为 $12$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$BD\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $BD\perp PA$。

又 $AC\perp BD$，$PA\cap AC=A$，$PA,AC\subset$ 平面 $PAC$，所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$。

而 $PC\subset$ 平面 $PAC$，故 $BD\perp PC$。

（2）设对角线 $AC\cap BD=O$，梯形的高为 $h$。等腰梯形对角线相等且被底的中垂线平分，投影长度为 $\frac{AD+BC}{2}=3$，故 $A{C}^2=B{D}^2=h^2+3^2$；又对角线互相垂直，梯形面积满足 $\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot h$，即 $h^2+9=6h$，解得 $h=3$，从而 $AC=BD=3\sqrt{2}$。

由 $AD\parallel BC$ 得 $\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=2$，故 $OD=\frac{2}{3}BD=2\sqrt{2}$，$OA=\frac{2}{3}AC=2\sqrt{2}$。

由（1）知 $BD\perp$ 平面 $PAC$，故 $O$ 是 $D$ 在平面 $PAC$ 上的射影，$\angle DPO$ 就是直线 $PD$ 与平面 $PAC$ 所成的角，即 $\angle DPO=30^{\circ }$。

在 $\text{Rt}△POD$ 中，$PO=\frac{OD}{\tan 30^{\circ }}=2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=2\sqrt{6}$。

因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp AO$，在 $\text{Rt}△PAO$ 中，$PA=\sqrt{P{O}^2-A{O}^2}=\sqrt{24-8}=4$。

梯形面积为 $\frac{1}{2}\times (4+2)\times 3=9$，故体积 $V=\frac{1}{3}\times 9\times 4=12$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定定理与性质；斜线与平面所成的角（射影）；锥体体积公式

核心方法：证线面垂直找”平面内两条相交直线”；用第（1）问的结论把 $O$ 认作射影，把线面角转到 $△POD$ 中解三角形

避坑指南：线面角是斜线与”射影”的夹角：第（1）问证得 $BD\perp$ 平面 $PAC$ 后，$O$ 才是 $D$ 的射影，这一步是全题枢纽，跳过论证直接用会被扣分；等腰梯形对角线被交点分成的比等于两底之比（$OD:OB=AD:BC$），方向别反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥垂直与体积综合题，与 2013 年重庆卷文第 19 题、2013 年安徽卷文第 18 题同族。

结论推广：对角线互相垂直的等腰梯形：$\frac{1}{2}{d}^2=S$（$d$ 为对角线长），且 $d^2=h^2+{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$。

方法推广：立体几何大题第（1）问的结论往往是为第（2）问搭桥的（本题：$BD\perp$ 平面 $PAC$ 给出射影点），解题时主动回用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-19 解-四棱锥垂直体积
• 2013-安徽卷文-18 解-菱形四棱锥垂直
• 2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高