2007-福建卷文-06 单-异面直线所成角

本题导读

本题考查异面直线所成角。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别为 $A{A}_1$，$AB$，$B{B}_1$，$B_1{C}_1$ 的中点，则异面直线 $EF$ 与 $GH$ 所成的角等于 ()

A. $45^{\circ }$　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　C. $90^{\circ }$　　　　　　D. $120^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 取 $BC$ 中点 $I$，$GI\parallel EF$（同在侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 且都是中位线段）。
2. $IH\parallel G{C}_1$？不对——改用向量法最直接。
3. 设棱长 2，$E(0,0,1)$，$F(1,0,0)$，$G(2,0,1)$，$H(2,1,2)$。
4. $\overrightarrow{EF}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{GH}=(0,1,1)$，$\cos \theta =\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\theta =60^{\circ }$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点建系，设棱长为 $2$：$E(2,0,1)$，$F(2,1,0)$，$G(2,2,1)$，$H(1,2,2)$（$x$ 轴沿 $DA$，$y$ 轴沿 $DC$，$z$ 轴沿 $D{D}_1$，则 $A(2,0,0)$，$B(2,2,0)$，$B_1(2,2,2)$，$C_1(0,2,2)$）． $\overrightarrow{EF}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{GH}=(-1,0,1)$， $\cos \theta =\frac{\left|\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{GH}\right|}{\left|\overrightarrow{EF}\right|\cdot \left|\overrightarrow{GH}\right|}=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$， 故异面直线 $EF$ 与 $GH$ 所成的角为 $60^{\circ }$，选 B． （几何法：取 $BC$ 中点 $I$，则 $GI\parallel EF$，$HI\parallel$ 平面内连线，$△GHI$ 中算得等边三角形亦可。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角

核心方法：建系向量法：$\cos \theta =\frac{\left|\vec{u}\cdot \vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|}$

避坑指南：异面直线所成角范围 $(0^{\circ },90^{\circ }]$，点积取绝对值；平移法找中位线也可，建系坐标别代错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体中点连线异面角，经典立几模型

结论推广：正方体中任取各棱中点连线，异面角都是特殊角（45°/60°/90°）

方法推广：建系是异面角万能法；几何法优先找中位线平移

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2007-上海卷文-07 填-异面直线所成角
• 2007-大纲卷I文-07 单-异面直线所成角
• 2007-浙江卷文-07 单-异面直线公垂线
• 2009-上海卷文-05 填-正四棱柱异面直线角