2009-上海卷文-05 填-正四棱柱异面直线角

本题导读

考查异面直线角。$AD\parallel A_1{D}_1$，所成角即 $\angle A_1{D}_{1}B$，$\tan \angle A_1{D}_{1}B=\sqrt{5}$，角为 $\arctan \sqrt{5}$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 如图，若正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面边长为 $2$，高为 $4$，则异面直线 $B{D}_1$ 与 $AD$ 所成角的大小是$\underline{}$.（结果用反三角函数表示）

🔍【思路分析】

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1. $AD\parallel A_1{D}_1$，所成角即 $B{D}_1$ 与 $A_1{D}_1$ 的角，即 $\angle A_1{D}_{1}B$。
2. $A_1{D}_1=2$，$A_{1}B=\sqrt{A_1{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，$B{D}_1=\sqrt{B{D}^2+D{D}_1^2}=\sqrt{8+16}=2\sqrt{6}$。
3. $\cos \angle A_1{D}_{1}B=\frac{A_1{D}_1^2+B{D}_1^2-A_1{B}^2}{2\cdot A_1{D}_1\cdot B{D}_1}=\frac{4+24-20}{2\cdot 2\cdot 2\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$，$\tan =\sqrt{5}$。

✅【答案】

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$\arctan \sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $AD\parallel A_1{D}_1$，异面直线 $B{D}_1$ 与 $AD$ 所成角就是 $B{D}_1$ 与 $A_1{D}_1$ 所成的角，即 $\angle A_1{D}_{1}B$（$A_1{D}_1$ 与 $A_{1}B$ 相交于 $A_1$，$B$ 不在 $A_1{D}_1$ 上）。 在 $△A_1{D}_{1}B$ 中：$A_1{D}_1=2$，$B{D}_1=\sqrt{B{D}^2+D{D}_1^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+4^2}=2\sqrt{6}$，$A_{1}B=\sqrt{A_1{A}^2+A{B}^2}=2\sqrt{5}$。 由余弦定理：$\cos \angle A_1{D}_{1}B=\frac{A_1{D}_1^2+B{D}_1^2-A_1{B}^2}{2\cdot A_1{D}_1\cdot B{D}_1}=\frac{4+24-20}{8\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$。 于是 $\tan \angle A_1{D}_{1}B=\sqrt{6-1}=\sqrt{5}$，所求角为 $\arctan \sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成的角

核心方法：平移造相交角 + 余弦定理（或向量法）

避坑指南：$AD\parallel A_1{D}_1$ 平移后角在 $D_1$ 处；$\cos \angle A_1{D}_{1}B=\frac{1}{\sqrt{6}}$ 时 $\tan =\sqrt{5}$，结果要用反三角 $\arctan \sqrt{5}$ 表示。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正四棱柱中的异面直线角是立体几何小题常客。

结论推广：$A_1{D}_1=2$，$A_{1}B=2\sqrt{5}$，$B{D}_1=2\sqrt{6}$，余弦定理一步到位。

方法推广：异面直线角的范围是 $(0,\frac{\pi }{2}]$，余弦为正当取锐角，反三角表示用 $\arctan \sqrt{5}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线
• 2011-大纲卷文-15 填-异面直线所成角
• 2011-上海卷文-20 解-异面直线角与体积