2007-大纲卷I文-07 单-异面直线所成角

本题导读

本题考查异面直线所成角，以及空间向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 如图，正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=2AB$，则异面直线 $A_{1}B$ 与 $A{D}_1$ 所成角的余弦值为 ()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 设底面边长为 $s$，以 $A$ 为原点建系：$A_{1}B=(s,0,-2s)$，$A{D}_1=(0,s,2s)$。
2. 异面直线所成角取锐角（或直角），余弦取数量积的绝对值除以模之积。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设底面正方形边长为 $s$，以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $A=(0,0,0),B=(s,0,0),D=(0,s,0),A_1=(0,0,2s),D_1=(0,s,2s).$ 于是 $\overrightarrow{A_{1}B}=(s,0,-2s)$，$\overrightarrow{A{D}_1}=(0,s,2s)$，两向量长度均为 $s\sqrt{1+4}=\sqrt{5}s$． 数量积 $\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}=0+0-4s^2=-4s^2$． 异面直线所成的角是锐角或直角，故其余弦为 $\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}|\cdot |\overrightarrow{A{D}_1}|}=\frac{4s^2}{5s^2}=\frac{4}{5},$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角

核心方法：基底建系 + 向量夹角公式取绝对值

避坑指南：异面直线所成角的范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，向量夹角可能是钝角，余弦必须取绝对值；$\frac{-4s^2}{5s^2}$ 的负号不能直接输出。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正四棱柱中异面直线所成角是大纲卷立体几何小题的经典模型。

结论推广：$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$（$\theta$ 为所成角）。

方法推广：长方体（正四棱柱）类题目首选建系，棱长参数化后角与具体尺寸无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线
• 2010-大纲卷I文-06 单-异面直线所成角