2007-辽宁卷文-08 单-线性规划斜率范围

本题导读

本题考查线性规划，以及斜率的几何意义。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 已知变量 $x$、$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+2⩽0,\\ x⩾1,\\ x+y-7⩽0,\end{array}$ 则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是 ()

A. $\left[\frac{9}{5},6\right]$　　B. $\left(-\infty ,\frac{9}{5}\right]\cup \left[6,+\infty \right)$　　C. $(-\infty ,3]\cup [6,+\infty )$　　D. $[3,6]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 约束即 $x⩾1$，$y⩾x+2$，$y⩽7-x$；由 $x+2⩽7-x$ 得 $1⩽x⩽\frac{5}{2}$。
2. 三个顶点：$(1,3)$、$(1,6)$、$\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$。
3. $\frac{y}{x}$ 是点 $(x,y)$ 与原点连线的斜率；可行域为连通区域且 $x>0$，斜率随点连续变化，最值在顶点取得。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

约束条件等价于 $x⩾1$，$y⩾x+2$，$y⩽7-x$；由 $x+2⩽7-x$ 得 $1⩽x⩽\frac{5}{2}$． 可行域是以 $(1,3)$、$(1,6)$、$\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$ 为顶点的三角形（含边界）． $\frac{y}{x}$ 表示可行域内的点 $(x,y)$ 与原点连线的斜率（$x⩾1>0$，分母恒正）．三个顶点处的斜率分别为 $3,6,\frac{9/2}{5/2}=\frac{9}{5}.$ 可行域连通且 $\frac{y}{x}$ 关于 $(x,y)$ 连续，斜率在顶点处取得最值：最小 $\frac{9}{5}$（点 $\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$），最大 $6$（点 $(1,6)$），故取值范围为 $\left[\frac{9}{5},6\right],$ 选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划斜率范围

核心方法：y/x 化为与原点连线的斜率

避坑指南：y/x 的范围要靠”可行域连通 + 斜率连续”说明取遍 [9/5,6]，只比三个顶点的斜率是不完整的；x≥1 保证分母恒正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”简单的线性规划”

结论推广：线性分式 y/x 的最值在可行域顶点处取得（区域连通时）

方法推广：目标函数为分式时先看分母符号，再把 y/x 读作斜率，数形结合定范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2008-新课标卷文-10 单-线性规划距离范围
• 2008-北京卷文-06 单-线性规划最小值
• 2008-天津卷文-02 单-线性规划最大值
• 2008-大纲卷I文-13 填-线性规划最值