2007-福建卷文-14 填-线性规划取值范围

本题导读

本题考查线性规划，以及取值范围。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 已知实数 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y⩾2,\\ x-y⩽2,\\ 0⩽y⩽3.\end{array}$ 则 $z=2x-y$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 画三条直线围成的三角形区域。
2. 顶点：$x+y=2$ 与 $x-y=2$ 交 $(2,0)$；$x+y=2$ 与 $y=3$ 交 $(-1,3)$；$x-y=2$ 与 $y=3$ 交 $(5,3)$。
3. 逐顶点算 $z=2x-y$。

✅【答案】

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$[-5,7]$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界 $x+y=2$，$x-y=2$，$y=3$（$y=0$ 被覆盖在内部）围成三角形，顶点为 $(2,0)$，$(-1,3)$，$(5,3)$． $z=2x-y$ 在各顶点的值：$z(2,0)=4$；$z(-1,3)=-5$；$z(5,3)=7$． 线性目标在凸多边形顶点处取得最值，故 $z\in [-5,7]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划取值范围

核心方法：画可行域三角形，线性目标在顶点取最值

避坑指南：先准确画出三条边界与交点；$z=2x-y$ 的最值方向：沿 $z$ 增大方向平移直线看最后离开的区域顶点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三元约束线性规划求目标取值范围，与 2007 浙江文 14 同型

结论推广：目标函数取值范围 = 可行域顶点值的最大最小（凸多边形）

方法推广：含等号约束的闭区域顶点可直接代入；开放区域要检查边界趋势

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2007-浙江卷文-14 填-线性规划最小值
• 2008-大纲卷I文-13 填-线性规划最值
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