2010-湖北卷文-05 单-对数不等式

本题导读

考查定义域。需 $4x-3>0$ 且 ${\log }_{0.5}(4x-3)>0$。由 $0<0.5<1$，后者等价于 $0<4x-3<1$，联立得 $\frac{3}{4}<x<1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 函数 $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{0.5}(4x-3)}}$ 的定义域为()

A. $\left(\frac{3}{4},1\right)$　　　B. $\left(\frac{3}{4},+\infty \right)$　　　C. $(1,+\infty )$　　　D. $\left(\frac{3}{4},1\right)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根式在分母：被开方数须严格为正，即 ${\log }_{0.5}(4x-3)>0$。
2. 对数真数为正：$4x-3>0$，即 $x>\frac{3}{4}$。
3. $0<0.5<1$，${\log }_{0.5}u>0⟺0<u<1$，即 $0<4x-3<1$，得 $\frac{3}{4}<x<1$。
4. 两个条件同时满足即 $\frac{3}{4}<x<1$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，需 $\{\begin{array}{l}4x-3>0,\\ {\log }_{0.5}(4x-3)>0.\end{array}$ 由 $0<0.5<1$，对数函数 $y={\log }_{0.5}u$ 单调递减，且 ${\log }_{0.5}1=0$，故 ${\log }_{0.5}(4x-3)>0⟺0<4x-3<1.$ 于是 $\frac{3}{4}<x<1.$ 所以定义域为 $\left(\frac{3}{4},1\right)$，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式

核心方法：由 $0<4x-3<1$ 解出 $x\in (3/4,1)$

避坑指南：底数大于 $1$ 时 ${\log }_{a}u<0$ 等价于 $0<u<1$；注意真数 $4x-3$ 必须为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式的核心是”真数为正”与底数单调性。

结论推广：$a>1$ 时 ${\log }_{a}u<b⟺0<u<a^b$；$0<a<1$ 时不等号反向。

方法推广：解对数不等式先保证真数大于 $0$，再按底数与 $1$ 的大小决定去对数后不等号方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-02 单-函数定义域
• 2011-广东卷文-04 单-函数定义域
• 2012-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2009-福建卷文-02 单-函数定义域