2007-辽宁卷文-14 填-二项式整数次幂项

本题导读

本题考查二项式定理，以及整数次幂项的系数。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^8$ 展开式中含有 $x$ 的整数次幂的项的系数之和为 $\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 写通项：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{\frac{8-k}{2}}\cdot x^{-\frac{k}{4}}$。
2. $x$ 的指数为 $4-\frac{3k}{4}$，为整数当且仅当 $k$ 是 $4$ 的倍数。
3. $k=0,4,8$，求对应系数之和。

✅【答案】

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$72$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{\left(\sqrt{x}\right)}^{8-k}{\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}^k={\mathrm{C}}_8^k{x}^{\frac{8-k}{2}-\frac{k}{4}}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{4-\frac{3k}{4}},k=0,1,\cdots ,8.$ 指数 $4-\frac{3k}{4}$ 为整数当且仅当 $3k$ 能被 $4$ 整除，即 $k$ 是 $4$ 的倍数，故 $k=0,4,8$，对应项的 $x$ 的指数分别为 $4,1,-2$，系数为 ${\mathrm{C}}_8^0+{\mathrm{C}}_8^4+{\mathrm{C}}_8^8=1+70+1=72.$ 故含有 $x$ 的整数次幂的项的系数之和为 $72$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式整数次幂项

核心方法：通项指数 4-3k/4 分析整除

避坑指南：指数含分母 4，整数条件是 4|k；k=0,4,8 三个都要取，漏端点 k=0 或 k=8 是常见丢分点；“系数之和”指 x 的系数（含组合数），本题恰与二项式系数相同

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”二项式定理”

结论推广：通项 T_{k+1}=C(8,k)x^{4-3k/4}，指数为整数的 k 构成等差列

方法推广：指数含分数时，“哪些项是整次幂”化为整除性问题，按模讨论

🔗【关联脉络】

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• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数
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