2007-辽宁卷理-03 单-向量夹角计算公式

本题导读

本题考查平面向量数量积的运算律与夹角的判定。核心在于利用数量积的分配律计算向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{c}$ 的数量积，从而判定两个向量之间的垂直几何特征。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 若向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不共线， $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\ne 0$，且 $\mathbf{c}=\mathbf{a}-\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}\right)\mathbf{b}$，则向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{c}$ 的夹角为()

A. 0　　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找夹角规律优先计算数量积：要计算两个向量的夹角，首要且最直观的手段是计算它们的数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$。

2. 代入已知向量并运用分配律：将 $\mathbf{c}=\mathbf{a}-\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}\right)\mathbf{b}$ 代入，两边同时点乘 $\mathbf{a}$。

3. 利用数乘结合律简化：注意 $\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}$ 是一个纯实数标量，可以直接移到最前面，计算后观察结果是否为 0。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：要求向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{c}$ 的夹角，我们首先计算这两个向量的数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$。 将已知向量 $\mathbf{c}$ 的代数表达式代入数量积中： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \left[\mathbf{a}-\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}\right)\mathbf{b}\right]$

根据平面向量数量积的分配律及数乘结合律，展开上式： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}\right)(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$ 由于 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 是一个非零实数标量，分母项与后面的乘积项 $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$ 可以直接约去： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{a})=0$

因为 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=0$，根据平面向量垂直的充要条件， 这意味着向量 $\mathbf{a}$ 与向量 $\mathbf{c}$ 相互垂直。 由于两个非零垂直向量之间的夹角恒为 $90^{\circ }$， 所以它们之间的夹角为 $\frac{\pi }{2}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量点积的乘法结合律与分配律、两向量垂直与数量积为 0 的等价性。
2. 核心方法：代数恒等展开法。
3. 避坑指南：

• 看到分式形式的向量公式不要慌张，要时刻清醒地意识到 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}$ 和 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 本质上全部都是“实数”。把它们当作普通系数进行括号展开和约分，题目就会化繁为简。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积（点积）、向量垂直的充要条件是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是平面向量的数量积（点积）、向量垂直的充要条件的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数量积等价证明法（代数计算法），注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2010-安徽卷文-03 单-向量垂直判定
• 2010-湖南卷文-06 单-向量数量积夹角
• 2012-福建卷文-03 单-向量垂直充要条件