2010-湖南卷文-06 单-向量数量积夹角

本题导读

考查向量夹角。$(2a+b)\cdot b=2a\cdot b+|b{|}^2=0$，代入 $|a|=|b|$ 得 $2|b{|}^2\cos \theta =-|b{|}^2$，$\cos \theta =-\frac{1}{2}$，夹角 $120^{\circ }$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 若非零向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$，$(2\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　C. $120^{\circ }$　　　　　　D. $150^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开数量积：$(2\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2$。
2. 用 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ 与 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$ 消元求 $\cos \theta$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$，由 $(2\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0$ 得 $2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2=0,即2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta =-|\mathbf{b}{|}^2.$ 又 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|\ne 0$，所以 $2|\mathbf{b}{|}^2\cos \theta =-|\mathbf{b}{|}^2$，解得 $\cos \theta =-\frac{1}{2}$. 由 $\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$，得 $\theta =120^{\circ }$. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积与夹角

核心方法：$(2a+b)\cdot b=0$ 展开为 $2a\cdot b+b^2=0$，用 $|a|=|b|$ 化出 $\cos \theta$

避坑指南：$b\cdot b=|b{|}^2$ 是常数项；夹角范围 $[0,\pi ]$，$\cos \theta =-\frac{1}{2}$ 对应 $120^{\circ }$ 而非 $60^{\circ }$，注意负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由垂直条件求夹角，是把”垂直方程”翻译成”余弦方程”。

结论推广：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$；$|a|=|b|$ 时可整体约去模长。

方法推广：见到 $(\lambda a+b)\cdot b=0$ 型条件，直接展开、约模、解 $\cos \theta$，三步固定程序。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2009-辽宁卷文-04 单-向量模与夹角
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积