2007-辽宁卷理-04 单-等差数列片段等差性质

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和的片段性质。核心在于利用“等差数列中，依次相等的项数之和（如 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$）仍然成等差数列”这一高频结论进行快速计算。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_3=9$, $S_6=36$，则 $a_7+a_8+a_9=$ ()

A. 63　　　　　　　B. 45　　　　　　　C. 36　　　　　　　D. 27

🔍【思路分析】

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1. 片段和模型：

• 将数列按 3 项为一组进行分段：第一段为 $S_3$，第二段为 $S_6-S_3$，第三段为 $S_9-S_6$（即题目所求的 $a_7+a_8+a_9$）。
• 根据等差数列的性质，这三段之和 $S_3,S_6-S_3,S_9-S_6$ 构成一个新的等差数列。

2. 基本量代入：

• 第一项为 $S_3=9$。

• 第二项为 $S_6-S_3=36-9=27$。

• 依据新等差数列的公差即可求得第三项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：法一（片段和性质法）： 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，每连续相同项的和构成的序列仍然是等差数列。 取项数间隔为 3，则以下三个片段和成等差数列： $A=S_3=a_1+a_2+a_3$ $B=S_6-S_3=a_4+a_5+a_6$ $C=S_9-S_6=a_7+a_8+a_9$

将已知条件 $S_3=9,S_6=36$ 代入计算前两个片段的值： $A=9$ $B=36-9=27$ 因为 $A,B,C$ 成等差数列，根据等差中项公式有： $2B=A+C⟹2\times 27=9+C$ $54=9+C⟹C=45$ 即 $a_7+a_8+a_9=45$。

法二（基本量方程法）： 设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。由前 $n$ 项和公式列方程组： $\{\begin{array}{l}{S}_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=9\\ S_6=6a_1+\frac{6\times 5}{2}d=36\end{array}⟹\{\begin{array}{l}3a_1+3d=9\\ 6a_1+15d=36\end{array}$ 化简得： $\{\begin{array}{l}{a}_1+d=3\\ 2a_1+5d=12\end{array}$ 解得： $a_1=1,d=2$。 题目要求的项和为： $a_7+a_8+a_9=3a_8=3(a_1+7d)=3(1+7\times 2)=3\times 15=45$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列片段和性质（ $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 成等差）。
2. 避坑指南：

• 在计算片段 $B$ 时，注意不要直接把 $S_6=36$ 作为等差数列的第二项，必须用 $S_6-S_3$ 做差提取出该截段。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的前 $n$ 项和性质、等差数列片段和的等差性质是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是等差数列的前 $n$ 项和性质、等差数列片段和的等差性质的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用片段和等差模型秒杀法、基本量方程法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-天津卷文-04 单-等差数列基本量
• 2009-四川卷文-03 单-等差等比中项