2008-辽宁卷理-08 单-向量

本题导读

本题考查函数图象的平移变换及其向量表示，重在考查图象“左加右减，上加下减”规律在向量平移坐标坐标下的严谨代数化归。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 将函数 $y=2^x+1$ 的图象按向量 $\mathbf{a}$ 平移得到函数 $y=2^{x+1}$ 的图象，则 ()

A. $\mathbf{a}=(-1,-1)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\mathbf{a}=(1,-1)$

C. $\mathbf{a}=(1,1)$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\mathbf{a}=(-1,1)$

🔍【思路分析】

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1. 设平移向量为 $\mathbf{a}=(h,k)$，根据平移公式确定新旧坐标的关系。
2. 将原函数解析式按照平移规律转换为含 $h,k$ 的新函数解析式。
3. 对应目标函数 $y=2^{x+1}$ 的各项系数及常数项，解出 $h$ 和 $k$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设平移向量为 $\mathbf{a}=(h,k)$。 根据向量平移定义，图象上任意一点 $(x,y)$ 经平移后得到新点 $(x^{\prime },y^{\prime })$，满足： $x^{\prime }=x+h⟹x=x^{\prime }-h$ $y^{\prime }=y+k⟹y=y^{\prime }-k$ 代入原函数解析式 $y=2^x+1$ 中，得到平移后的新图象解析式为： $y^{\prime }-k=2^{x^{\prime }-h}+1⟹y^{\prime }=2^{x^{\prime }-h}+1+k$ 去掉撇号统一变量形式，得 $y=2^{x-h}+1+k$。 该图象与已知目标函数 $y=2^{x+1}$ 的图象重合，通过比较两解析式可得： $\{\begin{array}{l}-h=1\\ 1+k=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}h=-1\\ k=-1\end{array}$ 所以平移向量 $\mathbf{a}=(-1,-1)$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数平移的代数本质，向量平移公式。
2. 核心方法：解析式对应系数相等法。也可以用“几何直观法”：由 $y=2^x+1$ 到 $y=2^{x+1}$，自变量 $x\to x+1$ 对应向左平移 1 个单位，常数项由 $1\to 0$ 对应向下平移 1 个单位，直接得出向量为 $(-1,-1)$。
3. 避坑指南：切勿将平移向量的符号与函数“左加右减”规律混淆。向量的坐标 $(h,k)$ 直接代表实际移动的正负方向（向左为负，向下为负）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中“函数图象的变换”与平面向量“坐标运算”两章的交叉综合，属于传统的变换几何基础应用。
2. 结论推广: 若函数 $y=f(x)+c$ 按向量 $\mathbf{a}=(h,k)$ 平移后得到 $y=f(x-h)+c+k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2010-北京卷文-04 单-向量数量积函数
• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数