2007-辽宁卷理-10 单-充要条件必要条件判定

本题导读

本题考查对数不等式、一元二次不等式的求解，并在此基础上进行常用逻辑用语中充要条件的真伪性判定。核心是将命题 $p,q$ 分别化简为对应的集合，再通过集合的包含关系确定逻辑条件。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 设 $p、q$ 是两个命题, $p:{\log }_{\frac{1}{2}}(|x|-3)>0,q:x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}>0$，则 $p$ 是 $q$ 的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简命题 $p$：由 ${\log }_{\frac{1}{2}}(|x|-3)>0$，根据底数 $0<\frac{1}{2}<1$ 的单调减性质，转化为不等式组： $0<|x|-3<1$，解出 $x$ 的范围集合 $A$。

2. 化简命题 $q$：对二次三项式进行因式分解，解一元二次不等式 $x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}>0$，求出集合 $B$。

3. 比对集合包含关系：比较集合 $A$ 与 $B$ 的大小。若 $A\subseteq B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先化简命题 $p$ 所对应的不等式： ${\log }_{\frac{1}{2}}(|x|-3)>0$ 根据对数函数的定义域要求以及底数 $0<\frac{1}{2}<1$ 时单调递减的性质，上式等价于： $0<|x|-3<{\left(\frac{1}{2}\right)}^0⟹0<|x|-3<1$ 各部分同时加上 3： $3<|x|<4$ 解得命题 $p$ 的解集为： $A=(-4,-3)\cup (3,4)$

接下来化简命题 $q$ 所对应的不等式： $x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}>0$ 方程两边同乘以 6： $6x^2-5x+1>0$ 利用十字相乘法进行因式分解： $(2x-1)(3x-1)>0$ 解得两根为 $x=\frac{1}{2}$ 或 $x=\frac{1}{3}$。由于不等号开口向上大于 0，解集在两根之外： $B=\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$

将命题 $p$ 的解集 $A$ 与命题 $q$ 的解集 $B$ 在数轴上进行包含关系比对： 显然，集合 $A=(-4,-3)\cup (3,4)$ 中的所有元素均完全包含在集合 $B=\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ 内，即： $A⊊B$ 根据常用逻辑用语中小集合推大集合的原理：

• 由 $x\in A⟹x\in B$ 严格成立，即 $p⟹q$ 为真；
• 反之，由 $x\in B/⟹x\in A$ （例如取 $x=0\in B$ 但 $0\notin A$），即 $q⟹p$ 为假。

所以， $p$ 是 $q$ 的充分而不必要条件。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数不等式中真数大于 0 的隐含约束、含绝对值不等式的去绝对值符号、集合包含判定法。
2. 避坑指南：

• 解对数不等式时最容易漏掉真数大于 0（即 $|x|-3>0$）这一前提条件。如果漏掉，会算错 $A$ 集合的内侧边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式与含绝对值不等式、一元二次不等式的解法是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是对数不等式与含绝对值不等式、一元二次不等式的解法的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用集合包含特征比对法、充要条件判定法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.01 不等式解法体系
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷文-05 单-绝对值二次不等式
• 2014-大纲卷文-03 单-不等式组解集
• 2008-大纲卷I理-01 单-不等式