2008-大纲卷I理-01 单-不等式

本题导读

本题考查函数定义域的求解，核心在于列出使各根式均有意义的不等式组并求其交集。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 函数 $y=\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x}$ 的定义域为 ()

A. $\{x|x\ge 0\}$　　　　B. $\{x|x\ge 1\}$　　　　C. $\{x|x\ge 1\}\cup \{0\}$　　　　D. $\{x|0\le x\le 1\}$

🔍【思路分析】

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1. 根据二次根式的被开方数非负，列出关于自变量 $x$ 的不等式组。
2. 分别解各个不等式，求出解集的交集得到定义域。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，自变量 $x$ 必须满足： $\{\begin{array}{l}x(x-1)\ge 0\\ x\ge 0\end{array}$ 由 $x(x-1)\ge 0$ 解得 $x\ge 1$ 或 $x\le 0$。 结合 $x\ge 0$，取两者的交集： 当 $x\le 0$ 且 $x\ge 0$ 时，得 $x=0$； 当 $x\ge 1$ 且 $x\ge 0$ 时，得 $x\ge 1$。 综上，函数的定义域为 $\{x|x\ge 1\}\cup \{0\}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多个根式组合函数的定义域求解。
2. 核心方法：列不等式组求交集。
3. 避坑指南：极易忽略 $x=0$ 这一孤立点导致误选 B。在求解 $x(x-1)\ge 0$ 时需注意边界值 0 的讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中关于函数定义域与一元二次不等式解法的常规训练题。
2. 结论推广：对于函数 $y=\sqrt{x(x-a)}+\sqrt{x}(a>0)$，其定义域恒为 $\{x|x\ge a\}\cup \{0\}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式