2007-辽宁卷理-13 填-函数极限定理

本题导读

本题考查分段函数在分界点 $x=0$ 处的连续性。根据连续性的定义，只需建立“左极限等于右极限等于该点函数值”的方程即可直接求解。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}a\cos x,x\ge 0\\ x^2-1,x<0\end{array}$ 在点 $x=0$ 处连续，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 应用连续性充要条件：函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，必须满足 ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)$。

2. 计算左极限：代入 $x<0$ 的解析式， ${\lim }_{x\to 0^{-}}(x^2-1)=-1$。

3. 计算右极限与函数值：代入 $x\ge 0$ 的解析式， ${\lim }_{x\to 0^{+}}a\cos x=a\cos 0=a$。

4. 联立两极限值相等求解。

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-1

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续， 根据函数连续性的定义，它在 $x=0$ 处的左极限、右极限以及函数值必须严格相等： ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)$

• 计算左极限：由于当 $x<0$ 时， $f(x)=x^2-1$，所以： ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x^2-1)=0^2-1=-1$
• 计算右极限与函数值：由于当 $x\ge 0$ 时， $f(x)=a\cos x$，所以： ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=a\cdot \cos 0=a\cdot 1=a$

由连续性方程可得： $a=-1$

故答案为：-1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数分界点的连续性判断。
2. 避坑指南：

• 极度基础的送分小题，牢记 $\cos 0=1$，不要混淆成 $\cos 0=0$ 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数的连续性、函数极限定理是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是分段函数的连续性、函数极限定理的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用左右极限相等法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数
• 2008-辽宁卷理-13 填-函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数