2007-重庆卷文-06 单-二倍角公式求值辨析

本题导读

本题考查二倍角公式，以及特殊角三角函数值。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是 ()

A. $2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$　　　B. ${\cos }^{2}15^{\circ }-{\sin }^{2}15^{\circ }$　　　C. $2{\sin }^{2}15^{\circ }-1$　　　D. ${\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A：$2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$。
2. B：${\cos }^{2}15^{\circ }-{\sin }^{2}15^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. C：$2{\sin }^{2}15^{\circ }-1=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
4. D：${\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }=1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

A：$2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，不符． B：${\cos }^{2}15^{\circ }-{\sin }^{2}15^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，符合． C：$2{\sin }^{2}15^{\circ }-1=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，不符． D：${\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }=1$，不符． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式求值辨析

核心方法：A 为 $\sin 30^{\circ }$，B 为 $\cos 30^{\circ }$，C 为 $-\cos 30^{\circ }$，D 为 1

避坑指南：四个选项分别对应正弦二倍角、余弦二倍角、降幂公式与同角平方关系；降幂 $2{\sin }^2\alpha -1=-\cos 2\alpha$ 的负号别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：特殊角三角函数值辨析，与 2014 重庆理第 10 题、2013 重庆理第 9 题同源

结论推广：四个选项覆盖 $\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$、$-\cos 2\alpha$、1 四种结构

方法推广：熟记 $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$、$\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 可直接验算

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-10 单-和差公式与二倍角公式
• 2013-重庆卷理-09 单-诱导公式
• 2011-重庆卷理-14