2007-重庆卷文-18 解-三角函数化简与求值

本题导读

本题考查三角函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1+\sqrt{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)}$．

(1) 求 $f(x)$ 的定义域；

(2) 若角 $\alpha$ 在第一象限且 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$，求 $f(\alpha )$．

🔍【思路分析】

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1. (1) $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$，需 $\cos x\ne 0$，即 $x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$。
2. (2) 展开分子：$\sqrt{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2x+\sin 2x$，故分子 $=1+\cos 2x+\sin 2x=2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x$。
3. 约去 $\cos x$（定义域保证非零）：$f(x)=2(\cos x+\sin x)$。
4. $\alpha$ 第一象限，$\cos \alpha =\frac{3}{5}$ 得 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$，$f(\alpha )=2\times \frac{7}{5}=\frac{14}{5}$。

✅【答案】

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(1) $\left\{x\mid x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$；(2) $\frac{14}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$，要使 $f(x)$ 有意义，需 $\cos x\ne 0$，解得 $x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$），故定义域为 $\left\{x\mid x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$． (2) 由两角差的余弦公式， $\sqrt{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos 2x\cos \frac{\pi }{4}+\sin 2x\sin \frac{\pi }{4}\right)=\cos 2x+\sin 2x$． 故分子 $1+\cos 2x+\sin 2x=2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=2\cos x(\cos x+\sin x)$． 在定义域内 $\cos x\ne 0$，约去得 $f(x)=2(\cos x+\sin x)$． $\alpha$ 在第一象限且 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$，故 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$，于是 $f(\alpha )=2\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\right)=\frac{14}{5}$． 【注】答案册短答案为 $\frac{56}{15}$，系将分子按 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ 计算（得 $\frac{56}{25}$）后又误除以 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ 所致；按原卷条件 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$ 及 $f(x)=2(\cos x+\sin x)$ 复算，$f(\alpha )=\frac{14}{5}$，与官方解析一致，故按 $\frac{14}{5}$ 录入．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数化简与求值

核心方法：分母 $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$；分子 $=2\cos x(\cos x+\sin x)$，约去得 $f(x)=2(\cos x+\sin x)$

避坑指南：约去 $\cos x$ 前必须先写定义域；$\sqrt{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 展开时 $\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数化简与求值，与 2011 文第 18 题、2010 文第 18 题的重庆三角大题同型

结论推广：分母用诱导公式化 $\cos x$；分子用两角差公式展开后降幂因式分解

方法推广：化简目标是把分式约成整式；约去因子的非零性由定义域保证，步骤顺序不可颠倒

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2011-重庆卷文-18 解-三角化简平移最值
• 2010-重庆卷文-18 解-余弦定理与三角变换
• 2014-重庆卷理-17 解-三角函数的周期性