本题导读
本题考查选修部分排列组合的经典选课模型。题目要求从 7 门中选 4 门且其中两门“不能都选”，由于限制较为单一，使用“总方案数减去两门都选的方案数”的间接排除法可以实现最精简、绝对不漏项的秒杀。
📌【题干】
Question
（2007年重庆卷(理)） 某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有________种. (用数字作答)
🔍【思路分析】
破题导航
- 计算无视限制的总方案数：从 7 门独立课程中任意挑选 4 门的纯组合数为 。
- 计算违反规则的对立方案数：违背“不能都选”意味着“甲、乙两门课程全被选中”。
- 既然甲、乙必须同时入选， 已经占用了 2 个名额。
- 剩下的 个选课指标， 必须从除了甲、乙之外剩余的 门课程中任选 2 门， 方案数为 。
两数作差：总方案数减去非法方案数即为答案。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
解：本题采用**正难则反（间接排除法）**进行快速计数：
第一步：计算不受任何条件制约的任意选课总数 从学校提供的 7 门备选课程中任意挑选 4 门， 对应的组合总数为：
第二步：计算“甲、乙两门都被选中”的非法方案数 若甲、乙两门课程同时被不慎选中。 这就意味着这 4 门选修课的名额中， 甲和乙已经雷打不动地占据了 2 个位置。 该学生还必须从剩下可供挑选的 门课程中， 任意挑出 门补齐计划。 此时对应的非法违规方案数为：
根据补集思想原理， 合法的、满足“甲乙不能都选”的最终选课方案数为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：组合数互补对称性公式 、特定受限元素固定在场时的名额核减。
- 核心方法：间接排除法（补集法）。
- 避坑指南：
- 题目硬性规定**“用数字作答”**， 绝对不能在答案横线上留有 这种带有组合符号的算式， 必须把最终结果 25 算出来写上， 否则计 0 分。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：排列组合（受限元素问题）、组合数的性质与计算是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是排列组合（受限元素问题）、组合数的性质与计算的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用间接排除法（对立事件法）、分类讨论法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。
🔗【关联脉络】
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类题演练 (Links)