2007-重庆卷理-16 填-焦点弦两段几何乘积公式

本题导读

本题考查双曲线中过焦点的特殊倾斜角弦长乘积问题。采用传统的直角坐标系联立方程求韦达定理极为冗长且极易算错；而如果转换思维，将坐标原点平移到右焦点建立极坐标系，利用圆锥曲线焦准距的极坐标统一方程，可在 3 步内完成无损口算秒杀。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 过双曲线 $x^2-y^2=4$ 的右焦点 $F$ 作倾斜角为 $105^{\circ }$ 的直线，交双曲线于 $P$、 $Q$ 两点，则 $|FP|\cdot |FQ|$ 的值为________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取双曲线的基本几何量：

• 方程化为标准式： $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$。
• 发现 $a^2=4,b^2=4$， 这是一个标准的等轴双曲线。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2}$。
• 焦距平方： $c^2=a^2+b^2=8⟹c=2\sqrt{2}$。

2. 极坐标系下的焦点弦定理模型引入：

• 以双曲线的右焦点 $F$ 为极坐标原点， 以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

• 此时， 双曲线右支上的点到右焦点 $F$ 的极径 $\rho$ 满足统一极坐标方程通式： $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$ （其中 $p=\frac{b^2}{c}$ 为焦准距， $ep=\frac{b^2}{a}$）。

• 注意： 由于倾斜角为 $105^{\circ }$ 超过了双曲线渐近线的倾斜角， 直线必然与双曲线的左、右两支各交于一点。 一点在右支（极角为 $105^{\circ }$）， 另一点在左支（反向延长线，极角为 $105^{\circ }-180^{\circ }=-75^{\circ }$）。

• 我们可以直接套用过焦点的焦点两段弦乘积统一代数恒等通式： $|FP|\cdot |FQ|=\frac{b^4}{|a^2{\sin }^2\theta -b^2{\cos }^2\theta |}$ 进行终极秒杀。

✅【答案】

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$\frac{8\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：原双曲线方程为 $x^2-y^2=4$， 两边同除以 4 转化为标准形式： $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$ 由此可知该双曲线为等轴双曲线， 其中： $a^2=4,b^2=4$ 焦距半长平方为： $c^2=a^2+b^2=4+4=8$。

对于过双曲线焦点的任意直线， 设其倾斜角为 $\theta$（本题中 $\theta =105^{\circ }$）。 根据解析几何过焦点的弦长乘积通用定理， 过双曲线焦点 $F$ 且倾斜角为 $\theta$ 的直线与双曲线两交点到该焦点的距离之积满足如下常数模型通式： $|FP|\cdot |FQ|=\frac{b^4}{|a^2{\sin }^2\theta -b^2{\cos }^2\theta |}$

因为该双曲线为等轴双曲线， 满足 $a^2=b^2=4,b^4=16$， 将其代入通式中进行分母归拢化简： $|FP|\cdot |FQ|=\frac{16}{|4{\sin }^2\theta -4{\cos }^2\theta |}=\frac{16}{4|{\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta |}=\frac{4}{|{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta |}$

根据三角函数二倍角公式， 余弦二倍角满足 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$。 代入公式中： $|FP|\cdot |FQ|=\frac{4}{|\cos 2\theta |}$

将题目中给定的确定倾斜角 $\theta =105^{\circ }$ 代入此简化模型中： $2\theta =2\times 105^{\circ }=210^{\circ }$ $|FP|\cdot |FQ|=\frac{4}{|\cos 210^{\circ }|}$

根据诱导公式， 计算 $\cos 210^{\circ }$ 的具体数值： $\cos 210^{\circ }=\cos (180^{\circ }+30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

代入绝对值分母中， 完成最终结果的倒数有理化： $|FP|\cdot |FQ|=\frac{4}{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等轴双曲线参数化基本特征、过焦点的线段乘积公式 $|FP|\cdot |FQ|=\frac{b^4}{|a^2{\sin }^2\theta -b^2{\cos }^2\theta |}$、倍角与诱导公式求值。
2. 核心方法：焦点弦几何公式秒杀法。
3. 避坑指南：

• 传统方法是：设右焦点 $F(2\sqrt{2},0)$，直线方程为 $y-0=\tan 105^{\circ }(x-2\sqrt{2})$。由于 $\tan 105^{\circ }=-(2+\sqrt{3})$ 是一个复杂的双重无理数，一旦带入双曲线方程联立去解一元二次方程，运算量会直接呈指数级爆炸，极易由于心态崩溃而算错。牢记解析几何填空题中， 只要看到“过焦点”、“求距离积或倒数和”， 立刻、无条件启用焦点弦通用极坐标公式，这是拉开考分差距的绝对利器。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等轴双曲线的性质、极坐标系下的圆锥曲线统一方程是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是等轴双曲线的性质、极坐标系下的圆锥曲线统一方程的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用极坐标系化切法（焦点弦模型）、联立方程韦达定理法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2010-湖北卷文-15 填-向量运算新定义
• 2013-上海卷理-07 填-极坐标方程的几何意义