2010-湖北卷文-15 填-向量运算新定义

本题导读

考查椭圆定义。$P$ 在椭圆内部：$|P{F}_1|+|P{F}_2|⩾|F_1{F}_2|=2$ 且 $<2a=2\sqrt{2}$；直线 $x_{0}x/2+y_{0}y=1$ 与椭圆无公共点（柯西不等式 $|u\cdot v|⩽|u||v|<1$ 矛盾），公共点个数 $0$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的两焦点为 $F_1$，$F_2$，点 $P(x_0,y_0)$ 满足 $0<\frac{x_0^2}{2}+y_0^2<1$，则 $|P{F}_1|+|P{F}_2|$ 的取值范围为 $\underline{}$，直线 $\frac{x_{0}x}{2}+y_{0}y=1$ 与椭圆 $C$ 的公共点个数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a=\sqrt{2}$，$c=1$，$2a=2\sqrt{2}$，$|F_1{F}_2|=2$。$P$ 在椭圆内部。
2. 椭圆内部点到两焦点距离之和小于 $2\sqrt{2}$；由三角不等式 $|P{F}_1|+|P{F}_2|⩾|F_1{F}_2|=2$，等号当 $P$ 在线段 $F_1{F}_2$ 上（除原点外均满足 $0<\frac{x_0^2}{2}+y_0^2<1$）。
3. 故取值范围 $[2,2\sqrt{2})$。
4. (2) 记 $u=\left(\frac{x_0}{\sqrt{2}},y_0\right)$，$v=\left(\frac{x}{\sqrt{2}},y\right)$。椭圆上 $|v|=1$，题设 $|u|<1$。
5. 直线方程即 $u\cdot v=1$，但 $|u\cdot v|⩽|u||v|<1$，矛盾，故无公共点，个数 $0$。

✅【答案】

点击查看答案

$[2,2\sqrt{2})$；$0$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $C$ 的长半轴 $a=\sqrt{2}$，半焦距 $c=1$，所以椭圆上任一点到两焦点距离之和为 $2\sqrt{2}$，椭圆内部任一点到两焦点距离之和小于 $2\sqrt{2}$. 又由三角不等式， $|P{F}_1|+|P{F}_2|⩾|F_1{F}_2|=2,$ 当 $P$ 在焦点连线段 $F_1{F}_2$ 上时等号成立，且这类点中除原点外均满足题设条件（$0<\frac{x_0^2}{2}+y_0^2<1$），因此取值范围为 $[2,2\sqrt{2})$. 第二空：令 $u=\left(\frac{x_0}{\sqrt{2}},y_0\right)$，$v=\left(\frac{x}{\sqrt{2}},y\right)$. 椭圆上的点满足 $|v|=1$，而题设给出 $|u|=\sqrt{\frac{x_0^2}{2}+y_0^2}<1.$ 直线方程 $\frac{x_{0}x}{2}+y_{0}y=1$ 即要求 $u\cdot v=1$. 但由柯西不等式（数量积不等式） $|u\cdot v|⩽|u||v|=|u|<1,$ 与 $u\cdot v=1$ 矛盾. 因此直线与椭圆无公共点，公共点个数为 $0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量运算的新定义

核心方法：按新定义的线性组合逐分量运算，讨论参数取值

避坑指南：按题设定义 $\mathbf{a}\odot \mathbf{b}$ 的运算法则逐分量计算，得到满足条件的参数区间与特定值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义向量运算题，关键是”照定义办事”。

结论推广：把新运算翻译成分量形式的四则运算，再按常规不等式、方程求解。

方法推广：遇到新定义先写清定义式再代入，不要凭直觉套用旧运算法则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率
• 2009-湖南卷文-20 解-椭圆中点弦
• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围