2013-上海卷理-07 填-极坐标方程的几何意义

本题导读

本题考查坐标系与参数方程，以及极坐标系。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 在极坐标系中，曲线 $\rho =\cos \theta +1$ 与 $\rho \cos \theta =1$ 的公共点到极点的距离为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 理解几何需求：题目要求“公共点到极点的距离”，在极坐标 $(\rho ,\theta )$ 中，$\rho$ 即表示点到极点的距离（通常约定 $\rho \ge 0$）。因此，本题实质上是求联立方程组后 $\rho$ 的值。
2. 联立方程：
   • 方程 ①：$\rho =\cos \theta +1$
   • 方程 ②：$\rho \cos \theta =1$
3. 消元处理：从方程 ② 中解出 $\cos \theta =\frac{1}{\rho }$，代入方程 ①，从而消去变量 $\theta$。
4. 解方程并判定：解关于 $\rho$ 的一元二次方程，结合 $\rho$ 的几何意义（距离非负）舍去不合题意的解。

✅【答案】

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$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：联立消元 由方程 $\rho \cos \theta =1$ 得： $\cos \theta =\frac{1}{\rho }(\text{可知 }\rho \ne 0)$ 将此式代入 $\rho =\cos \theta +1$ 中： $\rho =\frac{1}{\rho }+1$

第二步：化简并解方程 方程两边同乘以 $\rho$： ${\rho }^2=1+\rho$ 整理得一元二次方程： ${\rho }^2-\rho -1=0$ 利用求根公式解得： $\rho =\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

第三步：确定最终结果 因为 $\rho$ 表示点到极点的距离，必须满足 $\rho >0$。 由于 $\sqrt{5}>1$，则 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$（舍去）。 所以 $\rho =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

故填入答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标参数的含义。$\rho$ 对应距离，$\theta$ 对应极角。

核心方法：“目标导向消元”。由于问的是距离，所以应保留 $\rho$ 消去 $\theta$。如果问的是极角，则应保留 $\theta$。

避坑指南：不要急于将极坐标化为直角坐标。虽然本题中 $\rho \cos \theta =1$ 对应直线 $x=1$，但 $\rho =\cos \theta +1$ 化为直角坐标会产生根号（心形线），计算反而变复杂。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标系下两点间的距离公式、极坐标方程化直角坐标方程。

结论推广：方程 $\rho =a(1+\cos \theta )$ 描绘的是著名的心形线（Cardioid）。

方法推广：“目标导向消元”。由于问的是距离，所以应保留 $\rho$ 消去 $\theta$。如果问的是极角，则应保留 $\theta$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷文-12 填-极坐标方程
• 2015-新课标II卷文-23 解-极坐标方程
• 2015-新课标I卷文-23 解-极坐标方程