2007-陕西卷文-09 单-双曲线焦点到渐近线

本题导读

本题考查双曲线的渐近线，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$），以 $C$ 的右焦点为圆心且与 $C$ 的渐近线相切的圆的半径是 ()

A. $a$　　　　　　B. $b$　　　　　　C. $\sqrt{ab}$　　　　　　D. $\sqrt{a^2+b^2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 右焦点 $F(c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$。
2. 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $bx\pm ay=0$。
3. 点到渐近线的距离 $\frac{bc}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$，即为圆半径。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的右焦点为 $(c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，其渐近线可写为 $bx-ay=0$ 或 $bx+ay=0$． 点 $(c,0)$ 到渐近线的距离为 $\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$． 该距离即为圆心到渐近线的距离，等于圆的半径，故所求半径为 $b$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点到渐近线

核心方法：焦点 $(c,0)$ 到渐近线 $bx-ay=0$ 的距离 $=\frac{bc}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$

避坑指南：$c=\sqrt{a^2+b^2}$ 代入后分母约成 $c$，结果恰好是 $b$ 不是 $a$；渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 别写反系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于双曲线的焦点到渐近线的距离，是双曲线的一个经典几何量

结论推广：一般化：双曲线焦点到渐近线的距离恒等于虚半轴 $b$，与 $a$ 无关

方法推广：焦点到渐近线距离用点到直线距离公式，代入 $c^2=a^2+b^2$ 化简得 $b$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练(Links)

• 2013-陕西卷文-11 填-双曲线离心率
• 2008-陕西卷文-09 单-双曲线离心率
• 2009-陕西卷文-22 解-双曲线定比面积