2008-上海卷文-11 填-三角形区域xy最值

本题导读

考查区域上的二次函数最值。$w=xy$ 在三条边上分别化为 $x$ 的二次函数，$BC$ 边顶点处 $w=\frac{25}{2}$ 最大，$P=\left(\frac{5}{2},5\right)$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 在平面直角坐标系中，点 $A$、$B$、$C$ 的坐标分别为 $(0,1)$、$(4,2)$、$(2,6)$. 如果 $P(x,y)$ 是 $△ABC$ 围成的区域（含边界）上的点，那么当 $w=xy$ 取到最大值时，点 $P$ 的坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $w=xy$ 不是线性目标，不能只查顶点；但 $w$ 沿任一线段是 $x$ 的二次函数，最大值在各边或顶点取得。
2. 边 $AB$：$y=\frac{x}{2}+1$（$0⩽x⩽4$），$w=\frac{x^2}{2}+x$ 递增，$\max =w(4)=12$。
3. 边 $BC$：$y=-2x+10$（$2⩽x⩽4$），$w=-2x^2+10x$，顶点 $x=\frac{5}{2}$（在区间内），$w=\frac{25}{2}$，$y=5$。
4. 边 $AC$：$y=\frac{5}{2}x+1$（$0⩽x⩽2$），$w=\frac{5}{2}{x}^2+x$ 递增，$\max =w(2)=12$。
5. 比较得最大值 $\frac{25}{2}$ 在 $P\left(\frac{5}{2},5\right)$。

✅【答案】

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$\left(\frac{5}{2},5\right)$

✍【详细解析】

Abstract

$w=xy$ 在 $△ABC$ 区域（含边界）上取最大值，由于 $w$ 沿每条边是 $x$ 的二次函数，逐边求最大值： 边 $AB$：直线 $y=\frac{x}{2}+1$，$x\in [0,4]$，$w=x\left(\frac{x}{2}+1\right)=\frac{x^2}{2}+x$ 在 $[0,4]$ 上递增，最大值 $w(4)=12$； 边 $BC$：直线 $y=-2x+10$，$x\in [2,4]$，$w=x(-2x+10)=-2x^2+10x$，在 $x=\frac{5}{2}$ 处取最大值 $w=-2\times \frac{25}{4}+25=\frac{25}{2},y=-2\times \frac{5}{2}+10=5;$ 边 $AC$：直线 $y=\frac{5}{2}x+1$，$x\in [0,2]$，$w=x\left(\frac{5}{2}x+1\right)$ 在 $[0,2]$ 上递增，最大值 $w(2)=12$. 比较，$w_{\max }=\frac{25}{2}>12$，此时点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{5}{2},5\right)$. 故答案为 $\left(\frac{5}{2},5\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：区域上的二元函数最值

核心方法：$w=xy$ 在边 $BC$（$y=-2x+10$）上于 $x=\frac{5}{2}$ 取 $\frac{25}{2}$

避坑指南：$w=xy$ 非线性，等值线是双曲线族——最大值未必在顶点！把 $w$ 限制到每条边上化为 $x$ 的二次函数逐边求最大，再比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“非线性目标在多边形区域上的最值”是上海卷特色，2009 上海文第 7 题、2010 北京文第 11 题同型。

结论推广：线段 $y=kx+m$ 上 $xy=k{x}^2+mx$，顶点 $x=-\frac{m}{2k}$ 落在区间内才取最值。

方法推广：$△ABC$ 三条边各算一次：$AB$、$AC$ 上 $w$ 递增、最大在端点 $12$；$BC$ 上顶点 $\frac{25}{2}$ 胜出——漏掉 $BC$ 内部点是最常见错误。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2009-浙江卷文-13 填-线性规划最值
• 2010-北京卷文-11 填-点线距离与区域