2008-上海卷文-14 单-无穷等比数列求和

本题导读

考查无穷等比求和。$S=\frac{1}{1-q}$ 化为 $2a^2-5a+2=0$；$a=\frac{1}{2}$ 时公比 $-1$ 不收敛，舍去，$a=2$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 若数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $a-\frac{3}{2}$ 的无穷等比数列，且 $\{a_n\}$ 各项的和为 $a$，则 $a$ 的值是()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{5}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 收敛条件：$|q|=\left|a-\frac{3}{2}\right|<1$，即 $\frac{1}{2}<a<\frac{5}{2}$。
2. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\left(a-\frac{3}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{5}{2}-a}=a$。
3. $a\left(\frac{5}{2}-a\right)=1\Rightarrow 2a^2-5a+2=0\Rightarrow a=2$ 或 $a=\frac{1}{2}$。
4. $a=\frac{1}{2}$ 时 $q=-1$，不收敛，舍；$a=2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

无穷等比数列各项的和存在，要求公比 $q=a-\frac{3}{2}$ 满足 $|q|<1$，即 $\frac{1}{2}<a<\frac{5}{2}$. 此时 $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\left(a-\frac{3}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{5}{2}-a}=a.$ 整理得 $a\left(\frac{5}{2}-a\right)=1$，即 $2a^2-5a+2=0\Rightarrow (2a-1)(a-2)=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}\text{或}a=2.$ 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$q=-1$，$|q|=1$，各项和不存在，舍去； 当 $a=2$ 时，$q=\frac{1}{2}$，各项和 $S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，符合题意. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：无穷等比数列的求和

核心方法：$\frac{1}{\frac{5}{2}-a}=a$，$2a^2-5a+2=0$，$a=2$（$a=\frac{1}{2}$ 舍）

避坑指南：求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 使用前提 $|q|<1$ 必须单独检验；二次方程的两根都要过收敛关，$a=\frac{1}{2}$ 时 $q=-1$ 被卡掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“公比含参 + 自身作和”是无穷等比经典题，2012 上海文第 7 题、2009 浙江文第 11 题同型。

结论推广：$S=\frac{a_1}{1-q}$（$|q|<1$）；$q=a-\frac{3}{2}\in (-1,1)⟺a\in \left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$。

方法推广：先定收敛区间再解方程——两根中落在区间外或使 $|q|⩾1$ 的直接舍；$a=\frac{1}{2}$ 时 $q=-1$ 恰是区间端点，最易漏检。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和
• 2012-上海卷文-07 填-无穷等比数列求和
• 2009-浙江卷文-11 填-等比数列求和比
• 2010-浙江卷文-05 单-等比数列求和比