2008-上海卷理-03 填-复数

本题导读

本题考查复数方程的求解与代数四则运算，通过一元一次复方程考查基础代数化简与分母实数化能力。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 若复数 $z$ 满足 $z=\text{i}(2-z)$（$\text{i}$ 是虚数单位），则 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将原复数方程去括号展开，把含有未知数 $z$ 的项移到等号左边。
2. 提取公因式 $z$，通过复数除法则（分子分母同乘共轭复数）求出解。

✅【答案】

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$1+\text{i}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $z=\text{i}(2-z)$ 展开得： $z=2\text{i}-z\text{i}$ 移项得： $z+z\text{i}=2\text{i}⟹z(1+\text{i})=2\text{i}$ 解得： $z=\frac{2\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{2\text{i}(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{2\text{i}-2{\text{i}}^2}{1-{\text{i}}^2}=\frac{2+2\text{i}}{2}=1+\text{i}$

故答案为：$1。+\text{i}$**。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的一元一次方程求解、复数的除法法则。
2. 核心方法：类比实数一元一次方程进行因式分解，再运用共轭复数进行分母实数化。
3. 避坑指南：化简过程中注意 ${\text{i}}^2=-1$，切勿在分母实数化符号转化时出现计算笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中复数代数运算与方程的基本化简习题。
2. 结论推广: 方程 $z=a\text{i}-z\text{i}$ 的通用解为 $z=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\text{i}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数