2008-上海卷理-06 填-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，通过诱导公式与辅助角公式将两角解析式化为单一正弦型函数，侧重考查基础运算能力。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin x+\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用诱导公式将 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$ 转化为 $\cos x$。
2. 利用辅助角公式将解析式合并为 $A\sin (x+\phi )$ 的形式，直接读取最大值。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式可得：$\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$。 代入原函数解析式得： $f(x)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$ 利用辅助角公式变形： $f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 因为对任意 $x\in \mathbf{R}$，$\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\le 1$， 所以当 $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值 $2$。

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$、辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$。
2. 核心方法：统一函数名称（化异名为同名）。
3. 避坑指南：切勿混淆诱导公式中的符号，$\frac{\pi }{2}+x$ 属于第二象限角，正弦值在此象限为正，故化简为 $+\cos x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中三角恒等变换与正弦型函数性质的基本练习题。
2. 结论推广: 函数 $f(x)=a\sin x+b\cos \left(x+\alpha \right)$ 均可通过三角恒等变换化为 $A\sin (x+\theta )+C$ 的形式利用有界性求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

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• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数