2008-上海卷理-09 填-方差

本题导读

本题考查数据统计中中位数与方差的基本概念。通过中位数确定变量间的线性关系，再利用二次函数性质求解方差极值时的参数值。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 已知总体的各个值由小到大依次为 $2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20$，且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小，则 $a、b$ 的取值分别是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总体的总个数为 10（偶数），由小到大排列后，中位数为中间两数 $a,b$ 的平均数，由此建立 $a,b$ 的线性方程。
2. 结合平均数与方差公式，当数据总和固定时，方差最小等价于各项平方和最小，从而转化为二次函数在闭区间上的最值问题。

✅【答案】

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$10.5$

✍【详细解析】

Abstract

因为总数共有 10 个且已按从小到大排序，所以中位数为第 5 个和第 6 个数据的平均数， 即 $\frac{a+b}{2}=10.5⟹a+b=21$。 由于数据是有序的，可知 $7\le a\le b\le 12$。 该总体的平均数 $\bar{x}=\frac{2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20}{10}=\frac{72.3+21}{10}=9.33$（定值）。 要使总体的方差 $S^2=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{x}_i^2-{\bar{x}}^2$ 最小，只需 ${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i^2$ 最小，即要求 $a^2+b^2$ 最小。 将 $b=21-a$ 代入得： $a^2+b^2=a^2+(21-a{)}^2=2a^2-42a+441=2(a-10.5{)}^2+220.5$ 当 $a=10.5$ 时，代数式取得最小值。 此时 $b=21-10.5=10.5$，满足条件 $7\le 10.5\le 10.5\le 12$。 所以 $a,b$ 的取值分别为 10.5，10.5。

故答案为：10.5，10.5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶数个样本的中位数计算、方差极值的代数转化。
2. 核心方法：主元消元法与二次函数对称轴最值分析。
3. 避坑指南：计算出 $a=10.5$ 后，务必回代检验是否满足题意中隐含的夹逼范围 $7\le a\le b\le 12$，防止最值点落在可行域之外。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于基本统计学中对集中趋势（中位数）与离散程度（方差）相互制约关系的定性研究。
2. 结论推广: 若已知两个变量的和为定值 $S$，当且仅当两变量相等（即均等于 $\frac{S}{2}$）且在定义域内时，它们的平方和取得最小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$a=10.5，b=10.5$

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-17 单-方差
• 2009-广东卷文-18 解-茎叶图与方差
• 2009-江苏卷-06 填-方差比较