2008-上海卷理-10 填-解三角形

本题导读

本题是一道将实际航海背景与圆锥曲线（椭圆）定义相结合的创新应用题。关键在于将空间中由仰角带来的高线和投影，转化为平面几何中到两焦点的距离和。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为 $2a$，短轴长为 $2b$ 的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 $h_1、h_2$，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 ${\theta }_1、{\theta }_2$，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设椭圆的两个焦点为 $F_1,F_2$，船只在海平面上的投影位置为点 $P$。
2. 根据直角三角形中的三角函数关系，利用仰角与海拔高度将空间直线距离 $P{F}_1,P{F}_2$ 用含有 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 的式子表示出来。
3. 结合椭圆的定义，点 $P$ 在椭圆内或边界上的充要条件是 $P{F}_1+P{F}_2\le 2a$，代入即可。

✅【答案】

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$h_1\cot {\theta }_1+h_2\cot {\theta }_2\le 2a$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆的两个焦点分别为 $F_1,F_2$，则两个导航灯分别位于 $F_1,F_2$ 的正上方。 设船只所在海平面的具体位置点为 $P$。 在以甲导航灯、焦点 $F_1$、船只 $P$ 构成的直角三角形中，测得仰角为 ${\theta }_1$，导航灯垂直高度为 $h_1$， 则 $P$ 到焦点 $F_1$ 的水平距离为：$P{F}_1=\frac{h_1}{\tan {\theta }_1}=h_1\cot {\theta }_1$。 同理，在以乙导航灯、焦点 $F_2$、船只 $P$ 构成的直角三角形中， 可得 $P$ 到焦点 $F_2$ 的水平距离为：$P{F}_2=\frac{h_2}{\tan {\theta }_2}=h_2\cot {\theta }_2$。 根据椭圆的几何性质，点 $P$ 进入浅水区（即在椭圆内部或边界上）的充要条件为： $P{F}_1+P{F}_2\le 2a$ 将距离代入可得：$h_1\cot {\theta }_1+h_2\cot {\theta }_2\le 2a$（或写成 $\frac{h_1}{\tan {\theta }_1}+\frac{h_2}{\tan {\theta }_2}\le 2a$）。

故答案为：$h_1\cot {\theta }_1。+h_2\cot {\theta }_2\le 2a$**。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的第一定义（到两定点距离之和小于等于长轴长）、仰角的几何模型构建。
2. 核心方法：数形结合法，通过三维空间向二维平面的投影转化。
3. 避坑指南：注意题干中提到“含边界”，所以判别条件必须带有等号 $\le$，若漏掉等号或错写成纯小于号 $<$ 导致不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于双基中利用正切函数解决实际测量（仰角/俯角）问题，并融合了圆锥曲线的光学与轨道边界定义。
2. 结论推广: 若在空间某两点存在高度为 $h_1,h_2$ 的垂直立柱，其地面落点为 $A,B$，则地面上对该两立柱顶端仰角分别为 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 的点轨迹构成的围合区域边界满足以 $A,B$ 为焦点的圆锥曲线族。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积