2008-上海卷理-11 填-函数

本题导读

本题是一道构思精巧、逻辑深刻的压轴级填空题。题干通过首句铺垫，引导学生利用“曲线交点”的视点来解构高次方程。通过将根的代数特征与点在直线同侧的几何特征相融合，深度考查考生的解析化简与动态临界思维。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 方程 $x^2+\sqrt{2}x-1=0$ 的解可视为函数 $y=x+\sqrt{2}$ 的图象与函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象交点的横坐标.若 $x^4+ax-4=0$ 的各个实根 $x_1,x_2,\dots ,x_k$ ($k\le 4$) 所对应的点 $\left(x_i,\frac{4}{x_i}\right)$ ($i=1,2,\dots ,k$) 均在直线 $y=x$ 的同侧，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 仿照前句提示，由 $x_i^4+a{x}_i-4=0$ 变形出关于 $\frac{4}{x_i}$ 的表达式。
2. 明确“点在直线 $y=x$ 同侧”的代数充要条件：所有点的纵横坐标之差 $(y_i-x_i)$ 的正负号必须完全一致。
3. 利用方程本身将目标差值化简为仅含 $x_i$ 的简洁分式，确定根的区间分布边界，再结合函数临界值求解 $a$ 的范围。

✅【答案】

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$(-\infty ,-6)\cup (6,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x_i$ 是方程 $x^4+ax-4=0$ 的实根，显然 $x_i\ne 0$，变形可得 $a=\frac{4-x_i^4}{x_i}$。 设所对应的点为 $P_i\left(x_i,y_i\right)$，其中 $y_i=\frac{4}{x_i}$。 所有点在直线 $y=x$ 的同侧，等价于对所有的实根 $x_i$，代数式 $y_i-x_i$ 具有相同的正负号。 将 $y_i=\frac{4}{x_i}$ 代入该差式： $y_i-x_i=\frac{4}{x_i}-x_i=\frac{4-x_i^2}{x_i}$

• 当 $\frac{4-x^2}{x}>0⟹x(x^2-4)<0⟹x\in (-\infty ,-2)\cup (0,2)$；
• 当 $\frac{4-x^2}{x}<0⟹x(x^2-4)>0⟹x\in (-2,0)\cup (2,+\infty )$。

设 $f(x)=x^4+ax-4$。由于 $f(0)=-4<0$ 且 ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$，由零点存在性定理知该方程必有一个正实根和一个负实根。 由于 $f^{\prime }(x)=4x^3+a$ 只有一个实零点，表明 $f(x)$ 恰有两个实根，即 $k=2$。 设两根为 $x_1<0<x_2$。要使这两个根对应的代数式同号，结合上述区间要求，只能属于以下两种布局：

• 布局一：两根均使差式为正，则满足 $x_1\in (-\infty ,-2)$ 且 $x_2\in (0,2)$。 由 $f(0)=-4<0$ 可知，只需满足 $f(-2)<0$ 且 $f(2)>0$ 即可。 代入得：$\{\begin{array}{l}(-2{)}^4+a(-2)-4<0\\ 2^4+2a-4>0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}12-2a<0\\ 12+2a>0\end{array}⟹a>6$。
• 布局二：两根均使差式为负，则满足 $x_1\in (-2,0)$ 且 $x_2\in (2,+\infty )$。 同理，只需满足 $f(-2)>0$ 且 $f(2)<0$ 即可。 代入得：$\{\begin{array}{l}12-2a>0\\ 12+2a<0\end{array}⟹a<-6$。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,-6)\cup (6,+\infty )$（或写成 $|a|>6$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：高次方程的代数结构拆分、点在直线同侧的平面区域划分、方程根的区间隔离。
2. 核心方法：构造差值函数法，通过化简消去参数 $a$ 从而使几何判断转化为纯自变量的区间锁定。
3. 避坑指南：

• 极易盲目进行大运算量的导数分类讨论而陷入僵局，必须领会题干首句的引导，将根转换为两条曲线的交点问题；
• 注意点在线的同侧包含“全正”或“全负”两类互斥情形，容易漏掉其中一类的临界不等式组。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题融汇了高等数学中平面区域的符号关联性（即区域算子 $g(x,y)=y-x$ 的符号分布）与有理分式多项式的根空间定理。
2. 结论推广: 若高次多项式 $x^n+ax-b=0$ ($b>0$, $n$为偶数) 的实根对应点均在 $y=\frac{b}{x}$ 上，且全部落在直线 $y=x$ 同侧，则其参数 $a$ 的边界临界点必由函数在 $x=\pm b^{1/2}$ 处的函数值符号转换决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项