2008-上海卷理-16 解-线面位置

本题导读

本题考查空间中线面所成角的度量。通过正方体的特殊几何构型，考查垂线与射影的构造方法或空间向量工具的使用，侧重空间想象与数值计算能力。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 如图，在棱长为 2 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 是 $B{C}_1$ 的中点.求直线 $DE$ 与平面 $ABCD$ 所成角的大小.（结果用反三角函数表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（几何法）：找垂线作投影。因为 $E$ 在侧面上，过 $E$ 向底面作垂线，垂足必落在 $BC$ 的中点 $F$。连接 $DF$，则 $\angle EDF$ 即为所求的线面角。
2. 方法二（向量法）：以 $D$ 为原点，建立空间直角坐标系。求出直线 $DE$ 的方向向量以及平面 $ABCD$ 的法向量，利用向量夹角公式求解。

✅【答案】

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所以𝐷𝐹= √𝐷𝐶2 + 𝐶𝐹2 = √5

✍【详细解析】

Abstract

几何法： 取 $BC$ 的中点 $F$，连接 $EF,DF$。 因为 $E$ 是 $B{C}_1$ 的中点，且侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 为正方形， 所以 $EF\parallel C_{1}C$，且 $EF=\frac{1}{2}{C}_{1}C=\frac{1}{2}\times 2=1$。 由于 $C_{1}C\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $EF\perp$ 平面 $ABCD$。 因此，直线 $DF$ 为直线 $DE$ 在平面 $ABCD$ 内的射影， $\angle EDF$ 即为直线 $DE$ 与平面 $ABCD$ 所成的角（设为 $\theta$）。

在 $\text{Rt}△DCF$ 中，$\angle DCF=90^{\circ }$，$CD=2$，$CF=1$， 所以 $DF=\sqrt{C{D}^2+C{F}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。 在 $\text{Rt}△EDF$ 中，$\angle EFD=90^{\circ }$，$EF=1$，$DF=\sqrt{5}$， 所以 $\tan \theta =\frac{EF}{DF}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 故直线 $DE$ 与平面 $ABCD$ 所成角的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$（或写成 $\arcsin \frac{\sqrt{6}}{6}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角的定义（直线与它在平面内射影的夹角）、中位线定理。
2. 核心方法：射影作角法，关键在于寻找“由线上点向面引出的垂线”。
3. 避坑指南：寻找垂足时，不要盲目连接底面顶点，利用正方体侧面对底面的垂直关系，通过中点顺势下引即可精确锁定垂足。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中空间线面角概念的标准应用大题，属于考查立体几何基础作角技巧的常规试题。
2. 结论推广: 在棱长为 $a$ 的正方体中，若 $E$ 为侧面矩形对角线上的 $k$ 等分点，则其到底面的距离以及在底面上的投影位置均可通过平面相似关系按对应比例 $k$ 给出，从而将空间线面角问题完全降维化解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-18 解-直线与圆双弦
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2009-重庆卷理-01 单-直线与圆的位