2008-上海卷理-19 解-指数

本题导读

本题考查指数函数与绝对值复合函数的综合应用。第一问通过去掉绝对值符号将方程转化为常规指数方程求解；第二问在给定闭区间上研究不等式恒成立问题，核心方法是参变分离，将其转化为求解新函数的最值问题。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=2^x-\frac{1}{2^{|x|}}$.

(1)若 $f(x)=2$，求 $x$ 的值；

(2)若 $2^{t}f(2t)+mf(t)\ge 0$ 对于 $t\in [1,2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据 $x$ 的正负去掉绝对值符号。当 $x\ge 0$ 时，方程化为 $2^x-2^{-x}=2$，利用换元法求出 $2^x$ 再求 $x$；当 $x<0$ 时，分析函数值的范围进行取舍。
2. 第二问：由于 $t\in [1,2]$，可知 $t>0$ 且 $2t>0$，从而去掉解析式中的绝对值。将 $f(t)$ 和 $f(2t)$ 的代数式代入不等式，进行参变分离得到 $m\ge g(t)$，通过换元法求出 $g(t)$ 的最大值即可。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

解：(1)由 $f(x)=2^x-\frac{1}{2^{|x|}}=2$。

• 当 $x<0$ 时，$|x|=-x$，则 $f(x)=2^x-\frac{1}{2^{-x}}=2^x-2^x=0\ne 2$，此时方程无解。
• 当 $x\ge 0$ 时，$|x|=x$，则 $f(x)=2^x-2^{-x}=2$。 设 $2^x=u$（$u\ge 1$），则 $u-\frac{1}{u}=2⟹u^2-2u-1=0$。 解得 $u=1+\sqrt{2}$ 或 $u=1-\sqrt{2}$（负值舍去）。 所以 $2^x=1+\sqrt{2}⟹x={\log }_2(1+\sqrt{2})$。

(2)因为 $t\in [1,2]$，所以 $t>0$ 且 $2t>0$。 此时 $f(t)=2^t-2^{-t}$，$f(2t)=2^{2t}-2^{-2t}$。 代入不等式 $2^{t}f(2t)+mf(t)\ge 0$ 得： $2^t(2^{2t}-2^{-2t})+m(2^t-2^{-t})\ge 0$ 因式分解左边提取公因式： $2^t(2^t-2^{-t})(2^t+2^{-t})+m(2^t-2^{-t})\ge 0$ $(2^t-2^{-t})[2^t(2^t+2^{-t})+m]\ge 0⟹(2^t-2^{-t})(2^{2t}+1+m)\ge 0$ 由于 $t\in [1,2]$ 时，$2^t>2^{-t}$，即 $2^t-2^{-t}>0$ 恒成立， 所以原不等式等价于：$2^{2t}+1+m\ge 0⟹m\ge -2^{2t}-1$。 设 $g(t)=-2^{2t}-1$。 因为 $t\in [1,2]$ 时，函数 $2^{2t}$ 单调递增，所以 $g(t)$ 单调递减。 故当 $t=1$ 时， $g(t)$ 取得最大值 $g(1)=-2^2-1=-5$。 要使 $m\ge g(t)$ 恒成立，只需 $m\ge g(1)=-5$。 所以实数 $m$ 的取值范围是 $[-5,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值的分段讨论、指数换元方程、因式分解化简、不等式参数分离法。
2. 核心方法：构造最值法。在因式分解阶段，利用 $2^{2t}-2^{-2t}=(2^t-2^{-t})(2^t+2^{-t})$ 平方差公式整体约简，可以避免复杂的通分运算。
3. 避坑指南：

• 第一问求出 $u$ 的值后容易忘记换元终点是求 $x$，或在对数变形时写错底数；
• 第二问在分析 $2^t-2^{-t}$ 时，必须明确指出其在区间 $[1,2]$ 上的正负号（严格大于 0），从而才可以放心地对不等式两端进行约简而不改变不等号方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查的双曲正弦函数变式 $f(x)=2^x-2^{-|x|}$ 属于教材中研究指数函数单调性与奇偶性的典型衍生构造。
2. 结论推广: 对于一类形如 $F(t)\cdot m+G(t)\ge 0$ 的恒成立问题，若在给定区间上 $F(t)>0$ 恒成立，则参数范围直接由 $m\ge {\left[-\frac{G(t)}{F(t)}\right]}_{\max }$ 决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性
• 2010-山东卷文-11 单-指数与二次函数图象
• 2010-广东卷文-03 单-指数型函数奇偶性