2010-广东卷文-03 单-指数型函数奇偶性

本题导读

考查奇偶性。$f(x)=3^x+3^{-x}$ 满足 $f(-x)=f(x)$ 为偶函数；$g(x)=3^x-3^{-x}$ 满足 $g(-x)=-g(x)$ 为奇函数，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 若函数 $f(x)=3^x+3^{-x}$ 与 $g(x)=3^x-3^{-x}$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$，则()

A. $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为偶函数　　B. $f(x)$ 为奇函数，$g(x)$ 为偶函数

C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数　　D. $f(x)$ 为偶函数，$g(x)$ 为奇函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别计算 $f(-x)$、$g(-x)$。
2. $3^{-x}$ 与 $3^x$ 互为倒数，代换后与 $f(x)$、$g(x)$ 比较。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因 $f(-x)=3^{-x}+3^x=f(x)$，故 $f(x)$ 是偶函数. 又 $g(-x)=3^{-x}-3^x=-(3^x-3^{-x})=-g(x)$，故 $g(x)$ 是奇函数. 所以 $f(x)$ 为偶函数，$g(x)$ 为奇函数. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数型函数的奇偶性

核心方法：$f(-x)$ 与 $f(x)$ 比较：$3^x+3^{-x}$ 偶、$3^x-3^{-x}$ 奇

避坑指南：$3^{-x}$ 与 $3^x$ 互为倒数，代换后要整体看符号；偶函数 $f(-x)=f(x)$、奇函数 $f(-x)=-f(x)$ 别记混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“和式偶、差式奇”是 $a^x\pm a^{-x}$ 型函数的固定结论。

结论推广：$a^x+a^{-x}$ 为偶函数，$a^x-a^{-x}$ 为奇函数，可直接记忆。

方法推广：判定奇偶性一律算 $f(-x)$ 与 $\pm f(x)$ 比较，别凭”图像对称”臆断。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2011-江西卷文-04 单-指数曲线切线斜率
• 2012-天津卷文-06 单-奇偶性与单调性
• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性