2008-北京卷文-09 填-正切二倍角

本题导读

考查正切二倍角。终边点 $(1,-2)$ 给出 $\tan \alpha =-2$，代入 $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{4}{3}$。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1,-2)$，则 $\tan 2\alpha$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 终边点 $(1,-2)$：$\tan \alpha =\frac{-2}{1}=-2$。
2. 二倍角公式 $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$。
3. 代入化简。

✅【答案】

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$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1,-2)$，所以 $\tan \alpha =\frac{-2}{1}=-2$. 由二倍角公式， $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\times (-2)}{1-(-2{)}^2}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}.$ 故答案为 $\frac{4}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切的二倍角公式

核心方法：$\tan \alpha =-2$，$\tan 2\alpha =\frac{-4}{1-4}=\frac{4}{3}$

避坑指南：终边点直接给 $\tan \alpha =\frac{y}{x}$；二倍角公式分母 $1-{\tan }^2\alpha$，代入负值时符号别乱；$-4/(-3)$ 负负得正。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正切二倍角求值是填空高频题，2010 大纲Ⅰ文第 14 题、2011 江苏卷第 7 题同型。

结论推广：$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$；终边 $(x,y)$ 给 $\tan \alpha =\frac{y}{x}$。

方法推广：先写 $\tan \alpha$ 再套公式；分母 $1-4=-3$ 为负，别漏了负号；结果化成最简分数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.05 正切恒等式

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-14 填-二倍角正切
• 2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式
• 2011-江苏卷-07 填-正切和角与二倍角
• 2013-四川卷文-14 填-二倍角求值