2008-北京卷理-05 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划问题与指数函数单调性的结合。通过作图确定平面可行域，利用指数函数的单调性将求目标函数最值问题转化为求指数位置线性目标函数的最值问题。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 若实数 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-y+1\ge 0\\ x+y\ge 0\\ x\le 0\end{array}$，则 $z=3^{x+2y}$ 的最小值是 ()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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1. 作出不等式组对应的平面可行域。
2. 分析目标函数 $z=3^{x+2y}$，由于底数 $3>1$，要使 $z$ 最小，只需指数 $u=x+2y$ 取得最小值。
3. 利用平移直线法或计算可行域顶点坐标的方法，求出 $u=x+2y$ 的最小值，进而得到 $z$ 的最小值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

作出满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1\ge 0\\ x+y\ge 0\\ x\le 0\end{array}$ 的平面区域，该可行域是以 $O(0,0)$，A$(0,1)$，B$\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 为顶点的三角形区域及其内部。 在可行域内的任意点，由于 $x+y\ge 0$ 且 $y\ge 0$， 由此可得 $u=x+2y=(x+y)+y\ge 0$。 当且仅当 $x=0,y=0$ 时，满足所有约束条件且使 $u$ 取得最小值 $0$。 （或者代入三个顶点进行比较：$u_O=0$，$u_A=2$，$u_B=-\frac{1}{2}+2\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，显然最小值为 $0$）。 因为函数 $f(u)=3^u$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增， 所以当 $u=0$ 时，$z$ 取得最小值 $3^0=1$。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域的绘制，非线性目标函数向线性目标函数的转化。
2. 核心方法：数形结合法与顶点转化法。
3. 避坑指南：不可看到指数式就误认为最小值为 0，指数函数的值域虽为 $(0,+\infty )$，但本题中指数 $x+2y$ 的范围受可行域限制，需先精确求出指数的最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是经典的线性规划创新题，由传统的求线性目标函数最值演变为求复合函数的最值，源于教材中对函数性质的综合考查。
2. 结论推广: 对于目标函数 $z=a^{g(x,y)}$，若 $a>1$，则 $z$ 与 $g(x,y)$ 具有相同的单调趋势；若 $0<a<1$，则 $z$ 取得最小值时 $g(x,y)$ 应取得最大值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性
• 2010-山东卷文-11 单-指数与二次函数图象
• 2010-广东卷文-03 单-指数型函数奇偶性