2008-北京卷理-09 填-复数

本题导读

本题考查复数的完全平方展开公式以及实部、虚部对应相等的代数化简方法。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 已知 $(a-\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$，其中 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，那么实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开左侧的完全平方式，并利用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 化简为标准形式。
2. 根据复数相等的条件（实部等于实部，虚部等于虚部），列出方程组求解实数 $a$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

由已知展开得： $(a-\mathrm{i}{)}^2=a^2-2a\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=(a^2-1)-2a\mathrm{i}$ 因为 $(a^2-1)-2a\mathrm{i}=2\mathrm{i}$，且 $a\in \mathbf{R}$， 根据复数相等的条件，有： $\{\begin{array}{l}{a}^2-1=0\\ -2a=2\end{array}$ 由第二式解得 $a=-1$，代入第一式验证满足 $a^2-1=0$。 所以实数 $a=-1$。 答案：$-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位的幂运算，复数相等的代数定义。
2. 核心方法：实虚部分离法。
3. 避坑指南：由 $a^2-1=0$ 解得 $a=\pm 1$ 时，切记结合虚部方程 $-2a=2$ 舍去正根，防止漏审虚部符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中复数运算与复数相等的概念性巩固练习题。
2. 结论推广: 方程 $(a-\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$ 可变形为 $a-\mathrm{i}=\pm \sqrt{2\mathrm{i}}$。因为 $\sqrt{2\mathrm{i}}=\pm (1+\mathrm{i})$，故 $a-\mathrm{i}=\pm (1+\mathrm{i})$，当虚部抵消时可直接得到 $a=-1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数