2008-北京卷理-17 解-古典概型

本题导读

本题以北京奥运会志愿者分配为背景，考查有限制条件的排列组合计数、古典概型概率计算以及离散型随机变量分布列的求解。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 $A,B,C,D$ 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

(1) 求甲、乙两人同时参加 $A$ 岗位服务的概率；

(2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

(3) 设随机变量 $\xi$ 为这五名志愿者中参加 $A$ 岗位服务的人数，求 $\xi$ 的分布列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总情况数：5人分到4个岗位且每个岗位至少1人，必然是一个岗位2人，其余三个岗位各1人，属于典型的“分组分配”模型。
2. 第(1)问：甲、乙同时在 $A$ 岗位，则 $A$ 岗位的人数必为2且人员已确定为{甲, 乙}，只需对剩余3人进行全排列分配到其余3个岗位。
3. 第(2)问：先求出甲、乙在同一个岗位的对立事件数，再利用对立事件概率公式求解。
4. 第(3)问：确定 $\xi$ 的可能取值为 1 或 2，分别计算对应概率并列出表格。

✅【答案】

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$（1）140.（2）910.$

✍【详细解析】

Abstract

解： 将 5 名志愿者分配到 4 个不同的岗位，且每个岗位至少有一名志愿者，其人员结构只能是 $2,1,1,1$。 基本事件总数为： $N=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot {\mathrm{A}}_4^4=10\times 24=240$

(1) 设“甲、乙两人同时参加 $A$ 岗位服务”为事件 $M$。 此时 $A$ 岗位服务的 2 名志愿者即为甲和乙，其余 3 名志愿者各去一个岗位，共有 ${\mathrm{A}}_3^3=6$ 种情况。 所以事件 $M$ 的概率为： $P(M)=\frac{6}{240}=\frac{1}{40}$

(2) 设“甲、乙两人不在同一个岗位服务”为事件 $N$。其对立事件 $\overline{N}$ 为“甲、乙两人在同一个岗位服务”。 若甲、乙在同一个岗位服务，该岗位必然是分得 2 人的岗位，共有 ${\mathrm{A}}_4^1=4$ 种岗位选择； 其余 3 人各去一个岗位，有 ${\mathrm{A}}_3^3=6$ 种情况。 所以甲、乙在同一个岗位服务的情况数为 $4\times 6=24$ 种。 其概率为 $P(\overline{N})=\frac{24}{240}=\frac{1}{10}$。 故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为： $P(N)=1-P(\overline{N})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$

(3) 由题意可知，岗位 $A$ 服务的志愿者人数 $\xi$ 的可能取值为 1 或 2。 当 $\xi =2$ 时，表示 $A$ 岗位分配 2 人，先从 5 人中选 2 人去 $A$ 岗位，其余 3 人各去一个岗位，情况数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot {\mathrm{A}}_3^3=10\times 6=60$ 种。 $P(\xi =2)=\frac{60}{240}=\frac{1}{40}\times 10=\frac{1}{4}$ 当 $\xi =1$ 时，$P(\xi =1)=1-P(\xi =2)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。 （或直接计算：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\cdot \frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot {\mathrm{A}}_3^3}{2!}\cdot {\mathrm{A}}_3^1=5\times 6\times 6=180⟹P(\xi =1)=\frac{180}{240}=\frac{3}{4}$）

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	1	2
$P$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合中的“先分组后分配”模型，对立事件概率减法，离散型随机变量分布列。
2. 核心方法：

• 元素 headcount 分配问题，必须先明确各组的数量结构（如本题的 $2,1,1,1$）。
• 包含“至多”、“至少”或“不在同一处”性质的计数，优先使用对立事件法（正难则反）。

3. 避坑指南：第(2)问若采用直接法，需分类讨论：①甲、乙各自单独在一个岗位；②甲在2人组（非乙），乙单独；③乙在2人组（非甲），甲单独。极易漏解，故推荐采用对立事件法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是典型的“相同结构的分组分配问题”，原型源自人教A版选修2-3组合应用章节中关于把若干元素分入非空集合的经典课后题。
2. 结论推广: 将 $m$ 个不同元素放入 $n$ 个不同的盒子（$m>n$ 且每个盒子非空），当 $m=n+1$ 时，必然有一盒装2件，其余装1件，总分配方案数恒为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2}\right)\cdot n!$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合