2015-四川卷理-05 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的基础几何性质。核心在于准确求出双曲线的焦点坐标与渐近线方程，并通过联立直线方程求解交点间的距离。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 过双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 $A,B$ 两点，则 $|AB|=$ ()

A. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $4\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 确定基本量：从双曲线方程 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 中识别出 $a^2=1,b^2=3$。
2. 计算焦点坐标：利用关系式 $c^2=a^2+b^2$ 求出半焦距 $c$，从而确定右焦点 $F$ 的坐标。
3. 确定直线方程：过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线即为 $x=c$。
4. 确定渐近线方程：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$，即 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
5. 求交点坐标并计算距离：将直线 $x=c$ 代入渐近线方程，求出 $A,B$ 的纵坐标，两者差的绝对值即为 $|AB|$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求右焦点 $F$ 由方程 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 可知： $a^2=1,b^2=3$。 则 $c^2=a^2+b^2=1+3=4⟹c=2$。 故右焦点为 $F(2,0)$，所求直线方程为 $x=2$。

第二步：求渐近线方程 令 $x^2-\frac{y^2}{3}=0$，得渐近线方程为： $y=\pm \sqrt{3}x$

第三步：计算交点及距离 将 $x=2$ 代入渐近线方程 $y=\pm \sqrt{3}x$： $y_A=2\sqrt{3},y_B=-2\sqrt{3}$。 则 $A,B$ 两点间的距离为： $|AB|=|y_A-y_B|=|2\sqrt{3}-(-2\sqrt{3})|=4\sqrt{3}$

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线中 $a,b,c$ 的数量关系；渐近线方程的快速写法。
• 核心方法：坐标法。通过确定直线的解析式与渐近线的解析式，将几何长度问题转化为代数点的坐标差问题。
• 避坑指南：
  1. 区分双曲线（$c^2=a^2+b^2$）与椭圆（$a^2=b^2+c^2$）中参数的关系。
  2. 渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$，本题中 $a=1$，不要错算成 $\pm \frac{a}{b}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 过焦点且垂直于主轴的弦称为“通径”，双曲线的通径长为 $\frac{2b^2}{a}$。注意本题求的是渐近线上的截距，而非双曲线本身的通径。

• 相关知识点：双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}$。

🔗【关联脉络】

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