2008-四川卷文-22 解-椭圆准线与向量最值

本题导读

$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$：$a-e^{-1}$ 距离化简后为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}$，$a=2$、$b=\sqrt{2}$；$y_1{y}_2=-6$，$|MN{|}_{\min }=2\sqrt{6}$（$y_2=-y_1$），此时三向量和为 $(0,y_1+y_2)=0$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，点 $F_2$ 到右准线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$.

(1)求 $a$，$b$ 的值；

(2)设 $M$，$N$ 是右准线 $l$ 上两个动点，满足 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}N}=0$．证明：当 $|MN|$ 取最小值时，$\overrightarrow{F_2{F}_1}+\overrightarrow{F_{2}M}+\overrightarrow{F_{2}N}=0$. 【注】原卷条件印作 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}M}=0$，代入 $M$，$N$ 坐标无实数解，系排印之误；按官方答案解析 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}N}=0$ 录入.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$F_2$ 到右准线距离 $=\frac{a}{e}-c=a(\frac{1}{e}-e)$，$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时恰为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$. (2)准线竖直，$M$、$N$ 共横坐标；点积条件给 $y_1{y}_2=-6$；$|MN|=|y_1-y_2|=|y_1|+\frac{6}{|y_1|}$ 用均值不等式，取等时 $y_2=-y_1$，三向量之和纵坐标恰为 $y_1+y_2=0$.

✅【答案】

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(1)$a=2$，$b=\sqrt{2}$；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)设椭圆的半焦距为 $c$．由离心率定义，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $c=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．右准线方程为 $x=\frac{a}{e}$，故 $F_2$ 到右准线的距离为 $\frac{a}{e}-c=a(\frac{1}{e}-e)=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．由题设 $\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}$，得 $a=2$，$c=\sqrt{2}$．再由 $b^2=a^2-c^2=4-2=2$，得 $b=\sqrt{2}$. (2)由上问，$F_1(-\sqrt{2},0)$，$F_2(\sqrt{2},0)$，右准线 $l$ 的方程为 $x=\frac{a}{e}=2\sqrt{2}$．设 $M(2\sqrt{2},y_1)$，$N(2\sqrt{2},y_2)$．由题设条件 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}N}=0$，得 $(3\sqrt{2},y_1)\cdot (\sqrt{2},y_2)=0$，即 $y_1{y}_2=-6$．因而 $y_2=-\frac{6}{y_1}$，且 $|MN|=|y_1-y_2|=\left|y_1+\frac{6}{y_1}\right|=|y_1|+\frac{6}{|y_1|}⩾2\sqrt{6}$．当且仅当 $|y_1|=\sqrt{6}$ 时取等号，此时 $y_2=-y_1$.又 $\overrightarrow{F_2{F}_1}=(-2\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{F_{2}M}=(\sqrt{2},y_1)$，$\overrightarrow{F_{2}N}=(\sqrt{2},y_2)$，所以 $\overrightarrow{F_2{F}_1}+\overrightarrow{F_{2}M}+\overrightarrow{F_{2}N}=(0,y_1+y_2)=0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的准线与最值

核心方法：焦点到准线距离 $=a(\frac{1}{e}-e)$；准线上动点用纵坐标参数化

避坑指南：$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $\frac{1}{e}-e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 恰好同型；$y_1{y}_2=-6$ 给 $y_1\ne 0$，均值不等式取等 $y_2=-y_1$；原卷条件 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}M}=0$ 是排印误，做题时注意甄别

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆准线条件 + 准线上动点最值，圆锥曲线压轴的向量-不等式联袂题

结论推广：焦点到准线距离 $a(\frac{1}{e}-e)$ 只与 $e$、$a$ 有关

方法推广：准线上动点横坐标固定，全部条件落在纵坐标上——参数化后点积、距离、均值不等式一气呵成

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷理-22
• 2009-四川卷理-22
• 2016-四川卷文-20