2007-北京卷理-19 解-利用导数求函数最值

本题导读

本题考查解析几何与导数的综合应用。核心在于根据图象特征合理建立直角坐标系，写出椭圆标准方程，利用自变量 $x$ 表达出动点的坐标，构造出梯形面积的代数函数式，最终利用导数工具求解最大值。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 $2r$，短半轴长为 $r$，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 $AB$ 是半椭圆的短轴，上底 $CD$ 的端点在椭圆上，记 $CD=2x$，梯形面积为 $S$.

(1) 求面积 $S$ 以 $x$ 为自变量的函数式，并写出其定义域；

(2) 求面积 $S$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 建立直角坐标系并确定椭圆方程：

• 观察图象，下底 $AB$ 所在直线为短轴，长度为 $2r$，说明短半轴为 $r$；半轴高为 $2r$，说明长半轴为 $2r$。
• 以 $AB$ 的中点为坐标原点， $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，垂直于 $AB$ 的对称轴为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。
• 此时椭圆焦点在 $y$ 轴上，上半部分半椭圆的方程为 $\frac{y^2}{(2r{)}^2}+\frac{x^2}{r^2}=1(y\ge 0)$。

2. 第一问（构造函数）：

• 上底 $CD=2x$，根据关于 $y$ 轴的对称性，点 $C$ 的横坐标为 $x$。
• 将 $x$ 代入椭圆方程，求出点 $C$ 的纵坐标 $y_C$，此纵坐标即为等腰梯形的高 $h$。
• 结合下底 $AB=2r$，上底 $CD=2x$，套用梯形面积公式 $S=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot h$ 建立函数，并根据几何约束写出 $x$ 的范围。

3. 第二问（求最值）：

• 对面积函数 $S(x)$ 变形，可将根号外的因式放入根号内转化为多项式求导，或者直接利用复合函数求导法则求出 $S^{\prime }(x)$。

• 令 $S^{\prime }(x)=0$ 求出驻点，分析单调性锁定全局最大值。

✅【答案】

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（1）𝑆=2(𝑟+𝑥)√𝑟2−𝑥2，定义域为0<𝑥<𝑟.（2）𝑆max=3√32𝑟2.

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）以线段 $AB$ 的中点为坐标原点 $O$， 直线 $AB$ 所在方向为 $x$ 轴， 过点 $O$ 垂直于 $AB$ 向上方向为 $y$ 轴， 建立平面直角坐标系。 由题意可知，下底 $AB$ 是半椭圆的短轴， 长度为 $2r$， 故短半轴 $a_{\text{短}}=r$。 纵向半轴长为 $2r$， 故长半轴 $b_{\text{长}}=2r$。 因此，该上半部分半椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{(2r{)}^2}=1(y\ge 0)$

因为上底 $CD=2x$ 且关于 $y$ 轴严格对称，所以第一象限内端点 $C$ 的横坐标为 $x$。 将 $x$ 代入半椭圆方程中， 孤立求解纵坐标 $y$（即等腰梯形的高 $h$）： $\frac{y^2}{4r^2}=1-\frac{x^2}{r^2}⟹y^2=4(r^2-x^2)$ 由于 $y\ge 0$， 解得： $h=y=2\sqrt{r^2-x^2}$

根据等腰梯形的面积公式， 下底 $AB=2r$， 上底 $CD=2x$， 得到面积函数 $S$ 的表达式为： $S=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot h=\frac{1}{2}(2r+2x)\cdot 2\sqrt{r^2-x^2}=2(r+x)\sqrt{r^2-x^2}$ 由于点 $C$ 在第一象限， 其横坐标 $x$ 必须严格大于 0 且小于短半轴长 $r$。 所以， 面积 $S$ 的函数式为： $S(x)=2(r+x)\sqrt{r^2-x^2}，\text{定义域为 }(0,r)$

（2）为了便于求导， 将 $S(x)$ 根号外部的正因式 $r+x$ 平方后移入根号内部： $S(x)=2\sqrt{(r+x{)}^2(r^2-x^2)}=2\sqrt{(r+x{)}^3(r-x)}$ 令根号内部的超越多项式为 $f(x)=(r+x{)}^3(r-x)$。 由于外层开平方函数单调递增， 函数 $S(x)$ 与 $f(x)$ 具有完全相同的单调性与最值点位置。

对 $f(x)$ 运用导数乘法法则进行求导： $f^{\prime }(x)=3(r+x{)}^2\cdot 1\cdot (r-x)+(r+x{)}^3\cdot (-1)$ 提取公因式 $(r+x{)}^2$： $f^{\prime }(x)=(r+x{)}^2[3(r-x)-(r+x)]=(r+x{)}^2(3r-3x-r-x)=(r+x{)}^2(2r-4x)$

在定义域 $x\in (0,r)$ 内， 恒有 $(r+x{)}^2>0$。 令 $f^{\prime }(x)=0$， 得到唯一有效驻点： $2r-4x=0⟹x=\frac{1}{2}r$

分析导函数的符号变号规律：

• 当 $0<x<\frac{1}{2}r$ 时， $2r-4x>0⟹f^{\prime }(x)>0$， 函数 $S(x)$ 严格单调递增；
• 当 $\frac{1}{2}r<x<r$ 时， $2r-4x<0⟹f^{\prime }(x)<0$， 函数 $S(x)$ 严格单调递减。

由此可知， 当 $x=\frac{1}{2}r$ 时， 函数 $S(x)$ 取得全局极大值， 亦即绝对最大值。 将 $x=\frac{1}{2}r$ 代入面积函数中计算最大具体数值： $S_{\text{最大值}}=2\left(r+\frac{1}{2}r\right)\sqrt{r^2-{\left(\frac{1}{2}r\right)}^2}=2\times \frac{3}{2}r\times \sqrt{\frac{3}{4}{r}^2}=3r\times \frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{3\sqrt{3}}{2}{r}^2$

所以， 梯形面积 $S$ 的最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}{r}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆长短轴位置与方程的建立、解析几何动点纵横坐标的隐性函数映射、利用导数寻找驻点并求实际应用题最值。
2. 核心方法：根号内外多项式化简法、导数单调性夹逼法。
3. 避坑指南：

• 建立坐标系时务必看清长短轴的颠倒。本题下底 $AB$ 在水平方向是短轴（长为 $2r$）， 纵向高度是长轴（长为 $2r$）， 这是一个焦点在 $y$ 轴上的椭圆， 方程为 $\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{4r^2}=1$， 千万不要惯性思维写反。
• 第一问最后决不能漏掉写出定义域 $(0,r)$，应用题不写定义域属于刚性扣分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、梯形面积公式，是北京卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（坐标参数化法、导数判定单调性法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：椭圆的标准方程与几何性质、梯形面积公式相互关联，解答中综合运用了坐标参数化法、导数判定单调性法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2022-浙江卷-21 解-椭圆综合
• 2008-北京卷文-19 解-椭圆直线直角最大斜边
• 2008-四川卷文-22 解-椭圆准线与向量最值