2007-辽宁卷文-16 填-椭圆准线与中点向量

本题导读

本题考查椭圆的准线，以及向量的线性运算。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上一点 $P$ 到左准线的距离为 $10$，$F$ 是该椭圆的左焦点．若点 $M$ 满足 $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}\right)$，则 $|\overrightarrow{OM}|=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. $a=5$，$b=4$，$c=3$，左准线 $x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{25}{3}$，左焦点 $F(-3,0)$。
2. 由 $P(x,y)$ 到左准线距离 $x+\frac{25}{3}=10$ 定 $x_P$，再代入椭圆定 $y_P^2$。
3. $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF})$ 说明 $M$ 是线段 $PF$ 的中点。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a=5$，$b=4$ 得 $c=\sqrt{a^2-b^2}=3$，离心率 $e=\frac{3}{5}$；左准线为 $x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{25}{3}$，左焦点 $F(-3,0)$． 设 $P(x,y)$，则 $-5⩽x⩽5$，$x+\frac{25}{3}>0$．由 $P$ 到左准线的距离为 $10$： $x+\frac{25}{3}=10⟹x=\frac{5}{3}.$ 代入椭圆方程：$\frac{(5/3{)}^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，即 $\frac{1}{9}+\frac{y^2}{16}=1$，得 $y^2=\frac{128}{9}$． 由 $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}\right)$，$M$ 为线段 $PF$ 的中点： $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{5}{3},y\right)+(-3,0)\right]=\left(-\frac{2}{3},\frac{y}{2}\right),$ $|\overrightarrow{OM}{|}^2=\frac{4}{9}+\frac{y^2}{4}=\frac{4}{9}+\frac{32}{9}=4,|\overrightarrow{OM}|=2.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆准线与中点向量

核心方法：准线距离定 x，中点公式定 M

避坑指南：到左准线距离 = x-(-25/3)，先写准线方程再列式；OM=(OP+OF)/2 说明 M 是 PF 中点，别丢 F 的横坐标 -3

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”椭圆的简单几何性质”

结论推广：OM=(OP+OF)/2 即 M 为 PF 中点，是”向量中点公式”的向量语言

方法推广：椭圆上点的横坐标可由准线距离（或焦半径）先定，再回代方程求纵坐标

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练(Links)

• 2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量
• 2008-四川卷文-22 解-椭圆准线与向量最值
• 2008-湖南卷文-19 解-椭圆准线与对称点
• 2008-浙江卷文-13 填-椭圆焦点三角形