2008-四川卷理-12 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义、抛物线的几何性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 已知抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点为 $F$, 准线与 $x$ 轴的交点为 $K$, 点 $A$ 在 $C$ 上且 $|AK|=\sqrt{2}|AF|$, 则 $\Delta AFK$ 的面积为 ()

A. 4　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 16　　　　　　　D. 32

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定抛物线的参数 $p$，求出焦点 $F$ 和交点 $K$ 的坐标。
2. 设出点 $A(x_0,y_0)$，运用抛物线定义将条件 $|AK|=\sqrt{2}|AF|$ 转化为关于 $x_0$ 的方程，求出点 $A$ 坐标。
3. 以 $KF$ 为底边，点 $A$ 的纵坐标绝对值为高计算 $\Delta AFK$ 的面积。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $C:y^2=8x$ 可得 $2p=8⟹p=4$。 所以焦点 $F(2,0)$，准线方程为 $x=-2$，准线与 $x$ 轴的交点为 $K(-2,0)$。 设点 $A(x_0,y_0)$ 在抛物线上，则 $y_0^2=8x_0$。 根据抛物线的定义，点 $A$ 到焦点 $F$ 的距离等于它到准线 $x=-2$ 的距离，即： $|AF|=x_0+\frac{p}{2}=x_0+2$ 根据两点间距离公式，有： $|AK{|}^2=(x_0+2{)}^2+y_0^2=(x_0+2{)}^2+8x_0$ 因为 $|AK|=\sqrt{2}|AF|$，所以 $|AK{|}^2=2|AF{|}^2$，代入得： $(x_0+2{)}^2+8x_0=2(x_0+2{)}^2⟹8x_0=(x_0+2{)}^2$ 展开并化简得： $x_0^2-4x_0+4=0⟹(x_0-2{)}^2=0⟹x_0=2$ 代入 $y_0^2=8x_0$ 得 $y_0^2=16⟹|y_0|=4$。 在 $\Delta AFK$ 中，底边 $|KF|=2-(-2)=4$，高为 $|y_0|=4$。 故 $\Delta AFK$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}\times |KF|\times |y_0|=\frac{1}{2}\times 4\times 4=8$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的几何定义（平面内到定点与到定直线距离相等）。
2. 核心方法：利用定义实现“正反转换”（焦半径与准线距离互相转化）。
3. 避坑指南：计算 $|AK|$ 时直接套用两点间距离公式，并记得将 $y_0^2$ 用 $8x_0$ 替换实现消元；底边 $KF$ 的长度是 $p=4$，注意不要误算为 $\frac{p}{2}=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中圆锥曲线焦半径公式的经典推导思路，是高考压轴单选题的常考几何模型。
2. 结论推广：对于抛物线 $y^2=2px$，准线交 $x$ 轴于 $K$，若点 $A$ 满足 $|AK|=\sqrt{2}|AF|$，则点 $A$ 的横坐标恒为 $x_0=\frac{p}{2}$，此时 $\Delta AFK$ 是直角三角形且面积 $S=\frac{1}{2}{p}^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-04 单-抛物线焦点正三角形
• 2013-新课标I卷文-08 单-抛物线焦点三角形
• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长