2008-四川卷理-17 解-三角函数

本题导读

本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 求函数 $y=7-4\sin x\cos x+4{\cos }^{2}x-4{\cos }^{4}x$ 的最大值与最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用因式分解、同角三角函数平方关系及倍角公式，将原式中的三角函数统一角度为 $2x$。
2. 令 $t=\sin 2x$，确定定义域 $t\in [-1,1]$，将原函数转化为关于 $t$ 的二次函数。
3. 利用二次函数的对称轴及单调性求出闭区间上的最值。

点击查看答案

函数 $y$ 的最大值为 10，最小值为 6

✍【详细解析】

Abstract

解：原函数式可变形为： $y=7-2(2\sin x\cos x)+4{\cos }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)$ 因为 $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$，代入得： $y=7-2\sin 2x+4{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x$ $y=7-2\sin 2x+(2\sin x\cos x{)}^2$ $y=7-2\sin 2x+{\sin }^{2}2x$ 令 $t=\sin 2x$，因为 $x\in \mathbb{R}$，所以 $t\in [-1,1]$。 则原函数转化为关于 $t$ 的二次函数： $y=t^2-2t+7=(t-1{)}^2+6,t\in [-1,1]$ 该二次函数图象开口向上，对称轴为 $t=1$。 当 $t=1$ 时，函数取得最小值： $y_{\min }=(1-1{)}^2+6=6$ 当 $t=-1$ 时，函数取得最大值： $y_{\max }=(-1-1{)}^2+6=10$ 综上所述，函数 $y$ 的最大值为 10，最小值为 6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式（$\sin 2x=2\sin x\cos x$）；二次函数的最值性质。
2. 核心方法：换元法，将复杂的三角式转化为代数多项式模型求解。
3. 避坑指南：使用换元法时，切记“换元必换定义域”，必须明确指出 $t=\sin 2x\in [-1,1]$，否则会直接导致最值讨论范围错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中关于三角函数恒等变形及复合函数求最值的常规大题。
2. 结论推广：形如 $y=a{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+b\sin x\cos x+c$ 的三角函数，均可通过 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 转化为 $y=\frac{a}{4}{\sin }^{2}2x+\frac{b}{2}\sin 2x+c$ 的二次函数模型进行处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数