2008-大纲卷I文-03 单-二项式系数

本题导读

考查二项式定理。${\left(1+\frac{x}{2}\right)}^5$ 的通项中取 $k=2$，系数为 ${\mathrm{C}}_5^2\cdot \frac{1}{2^2}=\frac{5}{2}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） ${\left(1+\frac{x}{2}\right)}^5$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为()

A. $10$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $\frac{5}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 写出通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k{\left(\frac{x}{2}\right)}^k$。
2. 令 $k=2$。
3. 系数 $={\mathrm{C}}_5^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k{\left(\frac{x}{2}\right)}^k={\mathrm{C}}_5^k\cdot \frac{1}{2^k}{x}^k.$ 令 $k=2$，得 $x^2$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_5^2\cdot \frac{1}{2^2}=10\times \frac{1}{4}=\frac{5}{2}.$ 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的特定项系数

核心方法：${\mathrm{C}}_5^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{2}$

避坑指南：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^k{b}^{n-k}$ 要写对 $a$、$b$ 的位置；本题 $a=1$、$b=\frac{x}{2}$，系数含 $\frac{1}{2^k}$，别只写组合数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式特定项是高考常客，2009 四川文第 14 题、2010 大纲Ⅰ文第 5 题同型。

结论推广：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$；“系数”与”二项式系数”含义不同，含字母参数的项要把参数的幂乘进去。

方法推广：先写通项再定 $k$；系数 $={\mathrm{C}}_n^k\times$（数字因数）；算完用特殊值或对称性粗验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2010-大纲卷I文-05 单-二项式系数
• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2012-四川卷文-02 单-二项式特定项系数